Son supersingular primos y supersingular curvas elípticas relacionados?
(este fue esencialmente un subquestion en mi pregunta anterior, pero todavía se ve lo suficientemente diferentes para mí se merece un post aparte)
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ricree
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Hay muchas formas equivalentes para definir supersingularity de una curva elíptica sobre un característicos $p$ campo. Uno de ellos es que el $p$-torsión de la curva está conectado, es decir, es puramente infinitesimal grupo esquema de la orden de $p^2$. Como Jonás mencionado, supersingular significa muy especial, y no es una declaración acerca de la suavidad. Hay un teorema de Deuring que implica el j-invariante de un supersingular de curva elíptica siempre se encuentra en $\mathbb{F}_{p^2}$, y como consecuencia de ello, todas estas curvas están definidas sobre un número finito de grados de extensión de $\mathbb{F}_p$.
Hay dos nociones de supersingular prime: uno es relativo a un fijo de curva elíptica sobre $\mathbb{Q}$, y uno es absoluta. Para cualquier curva elíptica $E/\mathbb{Q}$, una de las principales $p$ es supersingular para $E$ si $E$ tiene buena supersingular reducción en $p$. Tales números primos son conocidos por ser asintóticamente densidad cero, pero en número infinito (por el teorema de Elkies). Lang y Trotter conjeturó que el número de supersingular primos menos de $N$ límites para un número constante de veces $\sqrt{N}/\log(N)$ $N$ se hace grande.
Supersingular de los números primos en el sentido absoluto son los números primos $p$ para que todos supersingular curvas elípticas sobre algebraica de cierre de $\mathbb{F}_p$ ha $j$-invariantes en $\mathbb{F}_p$, en lugar de sólo $\mathbb{F}_{p^2}$. Estos resultan ser los primos que dividen a la orden del monstruo simple grupo, y son también los prepara para que el normalizador de la $\Gamma_0(p) \in SL_2(\mathbb{R})$ actúa sobre el complejo de la mitad superior del plano con un género cero en el cociente. Para general $p$, este normalizador contiene $\Gamma_0(p)$ como índice 2 subgrupo, con el trivial coset llamado el "Fricke involución" (un caso especial de Atkin-Lehner involultion). Existe una norma de orden 2 de representante, teniendo en $z \mapsto -1/pz$. El cociente de la curva clasifica desordenada pares de curvas elípticas con doble grado p isogenies entre ellos. Yo no conozco a ningún canónica de las relaciones entre estas caracterizaciones de supersingularity.
Edit: Gracias a Emerton para señalar la conexión. Voy a tratar de ampliar un poco. Los módulos problema generalizado de curvas elípticas con $\Gamma_0(p)$-la estructura tiene un grueso espacio de moduli de que es un buen irreductible de la curva de distancia de p, pero tiene mod p de la fibra, dada por tomar un discontinuo de la unión de dos copias de $X(1)$ (un género cero de la curva) y pegado a lo largo de supersingular puntos (esta descripción es más o menos en Katz-Mazur, capítulo 13). Un punto geométrico que describe una curva elíptica con j-invariante $\alpha \in \mathbb{F}_{p^2}$ está pegado a un punto geométrico en el otro componente irreducible describiendo una curva elíptica con j-invariante $\alpha^p$. La Fricke involución interruptores de los componentes, por lo que el cociente de $X_0(p)$ por esta involución es un género cero de la curva pegado a sí mismo en un número finito de supersingular puntos. El cociente se ha aritmética de género cero si y sólo si todos los supersingular puntos geométricos están pegados a sí mismos - de lo contrario, el piso modular la deformación de característica cero produce una curva suave de más de un género. En otras palabras, es necesario y suficiente que todos los supersingular geométrico de los puntos no tienen Frobenius conjugados, es decir, que el j-invariantes de todos los supersingular curvas de mentira en $\mathbb{F}_p$.
Más Edit: me debe dar una respuesta más honesta respuesta a Mariano de la cuestión, de la que fue originalmente planteado por Ogg a mediados de la década de 1970 (y es famoso por haber ofrecido una botella de Jack Daniels a cualquier persona capaz de resolver). La mitad de la pregunta tiene una respuesta. Si combinamos los resultados de Borcherds del papel Monstruoso luz de la luna y monstruosa Mentira superalgebras con los resultados del papel de congruencias y el género cero propiedad de la luz de la luna funciones por Cummins y Gannon, se obtiene el siguiente hecho:
Vamos a G un grupo finito de actuar fielmente en una conformación vértice álgebra V por la conformación simetrías, y supongamos que V tiene una central de carga 24 y el carácter $\operatorname{Tr}(q^{L_0-1}|V) = j(\tau)-744$. A continuación, para cualquier elemento $g \in G$, la serie $\operatorname{Tr}(gq^{L_0-1}|V)$ es el q-expansión de modular la función que se holomorphic en la mitad superior del plano, invariantes bajo un grupo discreto $\Gamma \subset PSL_2(\mathbb{R})$ satisfacción $\Gamma \supset \Gamma_0(N)$ algunos $N$, y genera el campo de función del cociente de la curva de $\Gamma \backslash \mathbf{H}$. En particular, el cociente de la curva es el género de cero.
El monstruo simple grupo surge en este contexto debido a I. Frenkel, Lepowsky, y Meurman construido una conformación vértice de álgebra de la satisfacción de las anteriores hipótesis, cuyo grupo de automorfismos de conformación es el monstruo. El hecho dado anterior implica que para cada primer p dividiendo el fin de que el monstruo, el cociente $X_0^+(p) = X_0(p)/\langle w_p \rangle$ es de género cero, donde $w_p$ es la Fricke involución. En particular, cada primer dividiendo el fin de que el monstruo es necesariamente supersingular.
Sé que algunas personas que le gustaría que exista una conceptuales (lea: no enumerativa) explicación de por qué todos los supersingular primos dividir a la orden del monstruo. Hasta ahora, la mejor que he escuchado es que el monstruo es realmente grande, mientras que no hay muchos supersingular de los números primos.
Sea F el campo finito con p elementos.
Un supersingular de curva elíptica es una curva elíptica E/F con la propiedad de que el endomorfismo anillo (anillo de homomorphisms de E a E) de E más de la clausura algebraica de F_p tiene rango 4 como un Z-módulo.
Es un teorema que Final(E/F) tiene rango 2 rango 4 (y que en el caso anterior, Final(E/F) es isomorfo a un pedido en un imaginario cuadrática número anillo mientras que en el segundo caso, el Final(E/F) es isomorfo a un pedido en un álgebra de cuaterniones más Q). Por lo tanto, un supersingular de curva elíptica sobre F_p puede ser pensado como una curva elíptica sobre F con un "grande" endomorfismo anillo.
Es un teorema que otra caracterización supersingular curvas elípticas es que E/F es supersingular es si y sólo si el número de puntos de E/F es exactamente p + 1 (editar: p > 3, ver Voloch comentario de abajo).
Yo creo que la etimología del término "supersingular" es la siguiente: si usted comienza con una curva elíptica E/Q sobre Q, para todos, pero un número finito de números primos p, reducción (mod p) da una curva elíptica E/F. Por un genérico E/Q (en concreto, sin el "complejo de multiplicación") entonces el conjunto de los números primos tales que la reducción (mod p) se convierte E/Q en un supersingular E/F tiene asintótica de la densidad de 0. Tales números primos son llamados "supersingular prepara para la E/P" - supersingular se refiere a "realmente inusual." La reducción de tales primos se llaman supersingular curvas elípticas sobre F. estoy bastante seguro de que cada curva elíptica sobre F es un (mod p) reducción de una curva elíptica sobre Q, de modo que todos los supersingular curvas elípticas surgir en este camino.
Voy a observación (siguiente Silverman) que un supersingular de curva elíptica sobre F no es "singular" en el sentido de la geometría algebraica, por definición, todas las curvas elípticas son nonsingular.
Yo no sé mucho acerca de supersingular de los números primos en el contexto de la monstruosa luz de la luna. Según Wikipedia, un supersingular prime es un primo que divide al orden del monstruo grupo; y hay 15 números primos. Dada E/Q, por un teorema de Elkies habrá infinidad de super singular de los números primos p para E/P. Entonces, es difícil imaginar cómo la lista de 15 supersingular (con respecto a la luz de la luna) de los números primos puede surgir a partir de la noción de "supersingular de curva elíptica." Me imagino que la etimología del término "supersingular" en el contexto de la luz de la luna es de nuevo que supersingular de los números primos son especiales, pero que ellos especial en una manera totalmente diferente de la supersingular primos de una curva elíptica sobre Q.
