¿Están relacionados los primos super singulares y las curvas elípticas super singulares?
(esto fue básicamente una subpregunta en mi pregunta anterior, pero aún me parece lo suficientemente diferente como para merecer una publicación separada)
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ricree
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Existen muchas formas equivalentes de definir la super singularidad para una curva elíptica sobre un campo característico $ p $. Uno de ellos es que la $ p $-torsión de la curva está conectada, es decir, es un esquema de grupo puramente infinitesimal de orden $ p^2 $. Como mencionó Jonah, super singular significa muy especial, y no es una afirmación sobre la suavidad. Hay un teorema de Deuring que implica que el j-invariante de una curva elíptica super singular siempre se encuentra en $\mathbb{F}_{p^2}$, y como consecuencia, todas esas curvas están definidas sobre una extensión de grado finito de $\mathbb{F}_p$.
Hay dos nociones de primo super singular: una es relativa a una curva elíptica fija sobre $\mathbb{Q}$, y una es absoluta. Para cualquier curva elíptica $E/\mathbb{Q}$, un primo $p$ es super singular para $E$ si $E$ tiene buena reducción super singular en $p$. Se sabe que tales primos son asintóticamente de densidad cero, pero infinitos en número (por un teorema de Elkies). Lang y Trotter conjeturaron que la cantidad de primos super singulares menores que $N$ se limita a una constante veces $\sqrt{N}/\log(N)$ a medida que $N$ crece.
Los primos super singulares en el sentido absoluto son aquellos primos $p$ para los cuales todas las curvas elípticas super singulares sobre un cierre algebraico de $\mathbb{F}_p$ tienen $j$-invariante en $\mathbb{F}_p$ en lugar de solo $\mathbb{F}_{p^2}$. Resulta que son los primos que dividen el orden del grupo simple monstruo, y también son los primos para los cuales el normalizador de $\Gamma_0(p) \in SL_2(\mathbb{R})$ actúa en el plano superior mitad complejo con un cociente de género cero. Para $p$ general, este normalizador contiene a $\Gamma_0(p)$ como un subgrupo de índice 2, con el coseto no trivial llamado la "involución Fricke" (un caso especial de la involución de Atkin-Lehner). Hay un representante de orden 2 estándar, que lleva a $z \mapsto -1/pz$. La curva cociente clasifica pares no ordenados de curvas elípticas con isogenias de grado dual p entre ellas.
Edit: Gracias a Emerton por señalar la conexión. Intentaré expandir un poco sobre esto. El problema de módulos de curvas elípticas generalizadas con estructura $\Gamma_0(p)$ tiene un espacio de módulos grueso que es una curva irreducible suave lejos de p, pero tiene fibra módulo p dada tomando una unión disjunta de dos copias de $X(1)$ (una curva de género cero) y pegándolas en puntos super singulares (esta descripción está más o menos en Katz-Mazur, capítulo 13). Un punto geométrico que describe una curva elíptica con j-invariante $\alpha \in \mathbb{F}_{p^2}$ está pegado a un punto geométrico en el otro componente irreducible que describe una curva elíptica con j-invariante $\alpha^p$. La involución Fricke intercambia los componentes, por lo que el cociente de $X_0(p)$ por esta involución es una curva de género cero pegada consigo misma en finitos puntos super singulares. El cociente tiene género aritmético cero si y solo si todos los puntos geométricos super singulares están pegados consigo mismos - de lo contrario, la deformación modular plana a característica cero produce una curva suave de mayor género. En otras palabras, es necesario y suficiente que todos los puntos geométricos super singulares no tengan conjugados de Frobenius, es decir, que los j-invariantes de todas las curvas supersingulares estén en $\mathbb{F}_p$.
Más edición: Debería dar una respuesta más honesta a la pregunta de Mariano, que fue planteada originalmente por Ogg a mediados de la década de 1970 (y famosamente ofreció una botella de Jack Daniels a cualquiera que pudiera resolverla). La mitad de la pregunta tiene respuesta. Si combinamos los resultados del trabajo de Borcherds Monstruous moonshine and monstrous Lie superalgebras con los resultados del trabajo Modular equations and the genus zero property of moonshine functions de Cummins y Gannon, obtenemos el siguiente hecho:
Sea G un grupo finito que actúa fielmente en un álgebra de vértice conforme V por simetrías conforme, y supongamos que V tiene carga central 24 y carácter $\operatorname{Tr}(q^{L_0-1}|V) = j(\tau)-744$. Entonces, para cualquier elemento $g \in G$, la serie $\operatorname{Tr}(gq^{L_0-1}|V)$ es la expansión q de una función modular que es holomorfa en el plano medio superior, invariante bajo un grupo discreto $\Gamma \subset PSL_2(\mathbb{R})$ que satisface $\Gamma \supset \Gamma_0(N)$ para algún $N$, y genera el campo de funciones de la curva cociente $\Gamma \backslash \mathbf{H}$. En particular, la curva cociente es de género cero.
El grupo simple monstruo surge en este contexto porque I. Frenkel, Lepowsky y Meurman construyeron un álgebra de vértice conforme que cumple con las hipótesis anteriores, cuyo grupo de automorfismos conforme es el monstruo. El hecho dado anteriormente implica que para cada primo p que divide el orden del monstruo, el cociente $X_0^+(p) = X_0(p)/\langle w_p \rangle$ es de género cero, donde $w_p$ es la involución Fricke. En particular, cada primo que divide el orden del monstruo es necesariamente super singular.
Conozco a algunas personas a las que les gustaría que existiera una explicación conceptual (léase: no enumerativa) sobre por qué todos los primos super singulares dividen el orden del monstruo. Hasta ahora, lo mejor que he escuchado es que el monstruo es realmente grande, mientras que no hay tantos primos super singulares.
Sea F el campo finito con p elementos.
Una curva elíptica supersingular es una curva elíptica E/F con la propiedad de que el anillo de endomorfismos (anillo de homomorfismos de E a E) de E sobre la clausura algebraica de F_p tiene rango 4 como Z-módulo.
Es un teorema que End(E/F) tiene rango 2 o rango 4 (y que en el primer caso, End(E/F) es isomorfo a un orden en un anillo de números cuadráticos imaginarios mientras que en el segundo caso, End(E/F) es isomorfo a un orden en un álgebra cuaterniónica sobre Q). Por lo tanto, una curva elíptica supersingular sobre F_p puede ser considerada como una curva elíptica sobre F con un "gran" anillo de endomorfismos.
Es un teorema que otra caracterización de curvas elípticas supersingulares es que E/F es supersingular si y solo si el número de puntos en E/F es exactamente p + 1 (editar: para p > 3, ver comentario de Voloch abajo).
Creo que la etimología del término "supersingular" es la siguiente: si comienzas con una curva elíptica E/Q sobre Q, para todos los primos p menos finitos, la reducción (módulo p) da una curva elíptica E/F. Para un E/Q genérico (específicamente, uno sin "multiplicación compleja") entonces el conjunto de primos tal que la reducción (módulo p) convierte a E/Q en un E/F supersingular tiene densidad asintótica 0. Dichos primos son llamados "primos supersingulares para E/Q" - supersingular se refiere a "realmente inusual". Las reducciones para esos primos son entonces llamadas curvas elípticas supersingulares sobre F. Estoy bastante seguro de que toda curva elíptica sobre F es una reducción (mod p) de una curva elíptica sobre Q para que todas las curvas elípticas supersingulares surjan de esta manera.
Quiero señalar (siguiendo a Silverman) que una curva elíptica supersingular sobre F no es "singular" en el sentido de la geometría algebraica - por definición todas las curvas elípticas son no singulares.
No sé mucho sobre los primos supersingulares en el contexto del moonshine monstruoso. Según Wikipedia, un primo supersingular es un primo que divide el orden del grupo monstruo; y hay 15 tales primos. Dado E/Q, por un teorema de Elkies habrá infinitos primos supersingulares p para E/Q. Por lo tanto, es difícil imaginar cómo la lista de 15 primos supersingulares (con respecto al moonshine) podría surgir de la noción de "curva elíptica supersingular". Imagino que la etimología del término "supersingular" en el contexto del moonshine es nuevamente que esos primos supersingulares son especiales, pero que son especiales de una manera completamente diferente a los primos supersingulares de una curva elíptica sobre Q.
