Bosones De Gauge
Términos de masa de cualquier calibre bosones están prohibidos, ya que no son invariantes bajo transformaciones gauge. Supongamos que usted tiene cierta simetría $ SU(N ) $ con generadores $ T ^a $. Para ser una simetría debe haber un conjunto de bosones de gauge que me denotar $B _ \mu ^a $. Los términos de masa de estos bosones son
\begin{equation}
- m ^2 B _ \mu ^a B ^{a, \mu}
\end{equation}
La transformación del bosón de gauge es
\begin{equation}
B _\mu ^a \rightarrow B _\mu ^a + \partial _\mu \alpha ^a + g \epsilon _{ a b c } B _\mu ^b \alpha ^c
\end{equation}
Es fácil ver que en virtud de un medidor de transformación de la masa plazo no es invariante. Puesto que tales términos no respetar la simetría gauge decimos que están prohibidos y no se puede anotar cuando se trata de escribir una $ SU(N) $ teoría de gauge. Por lo tanto, cualquier calibre boson debe ser masa.
Ahora hay una pequeña laguna en este unido. Supongamos que el bosón de gauge también a las parejas a algunos escalares de las partículas (en el Modelo Estándar este es el Higgs) y que esta partícula pasa a tener un valor distinto de cero vacío expectativa de valor. A continuación, a bajas energías de la simetría aparecerá para ser rotos. La aparente ruptura puede es lo que le da bosones de gauge sus masas.
Explícitamente, en el Modelo Estándar (SM) tenemos términos como,
\begin{equation}
\frac{ g ^2 }{ 2} \phi ^\ast \phi W ^a _\mu W ^{a,\mu }
\end{equation}
donde $ \phi $ es de los dos componentes del campo de Higgs con el primer componente que se está cargada y segundo neutral. El campo de Higgs tiene una posición neutral vacío expectativa de valor y su valor es típicamente alrededor de $ 246 \mbox{GeV} $ sin embargo puede ser ligeramente más pequeño o más grande, entonces este valor. Escribimos,
\begin{equation}
\phi = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{c}
0\\
h (x) + v
\end{array} \right)
\end{equation}
La inserción de esta relación encontramos que cerca del vacío (que es también el punto de que el sistema es típicamente cerca) terminamos con una masa extra plazo:
\begin{equation}
\frac{ v ^2 g ^2 }{ 2} W _\mu ^a W ^{ a , \mu }
\end{equation}
Este término surge debido a la simetría fue espontáneamente roto, pero no podríamos haber escrito de otra manera.
Fermiones
Fermiones no pueden obtener masas en el SM, por un motivo similar. Un fermionic masa plazo para algunos de Dirac campo $ \Psi $ está dada por (fermiones también podría, en principio, tienen masas llamado Majorana masas sin embargo, estos romper todas las simetrías gauge),
\begin{equation}
- m \bar{\Psi} \Psi
\end{equation}
Si el campo es sólo acusados en virtud de una $ U(1) $ de la carga, a continuación, de hecho, es invariante gauge. Sin embargo, si el campo es acusado, en virtud de otro simetría que transforma entre los diferentes campos, a continuación, no es invariante y de nuevo prohibido (tenga en cuenta que si la nueva simetría izquierda-derecha simétrica y los nuevos campos tienen la misma masa como $\Psi$, en términos tales que aún podría estar permitido, pero este no es el caso en el SM).
Explícitamente, en el SM en QED se nos permite escribir la masa plazo de un campo de $ e $ como:
\begin{equation}
- m \bar{e} e = - m \left( \bar{e _L } e _R + \bar{ e _R } e _L \right)
\end{equation}
donde $ e _{ L/R} \equiv P _{ L/R } e $. Ahora en el SM, cada fermión es también acusado, en virtud de $ SU(2) $. El $ SU(2) $ simetría que transforma el campo de $ e _L $ en otro campo $ \nu _L $. Bajo una transformación de la masa plazo está claro que no es invariante y está prohibido.
Al igual que antes de que uno se puede usar el mecanismo de Higgs para salvar el día. Si la partícula de Higgs, es también un doblete en $ SU(2) $ como en la SM, a continuación, tenemos un término que es un producto de la partícula de Higgs, y el $ SU(2) $ doblete de $ e _L $$ \nu _L $:
\begin{equation}
- g\left( \begin{array}{cc} \bar{ \nu _L} & \bar{ e _L } \end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\phi _1 \\
\phi _2
\end{array} \right) e _R + h.c.
\end{equation}
Después de que el mecanismo de Higgs tenemos el término,
\begin{equation}
- \underbrace{\frac{g v}{\sqrt{2}}}_m ( \bar{ e _L} e _R + h.c.)
\end{equation}
como se desee.
