Momento de la generación de funciones/ funciones características de $X,Y$ factor implica $X,Y$ independiente.

Question

Esto es solamente una referencia de la solicitud. He escuchado un par de versiones de la siguiente teorema:

Si la articulación momento de generación de la función $\mathbb{E}[e^{uX+vY}] = \mathbb{E}[e^{uX}]\mathbb{E}[e^{vY}]$ cuando las expectativas son finitos, entonces $X,Y$ son independientes.

Y hay una versión similar para funciones características. Alguien podría proporcionarme un grave referencia que demuestra que uno o ambos de estos teoremas?

Answer 1

Teorema (Kac del teorema) Vamos a $X,Y \in L^1$ $\mathbb{R}^d$-valores de variables aleatorias. Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

1. $X,Y$ son independientes
2. $\forall \eta,\xi \in \mathbb{R}^d: \mathbb{E}e^{\imath \, (X,Y) \cdot (\xi,\eta)} = \mathbb{E}e^{\imath \, X \cdot \xi} \cdot \mathbb{E}e^{\imath \, Y \cdot \eta}$

Prueba:

• $(1) \Rightarrow (2)$: Sencillo, el uso de $\mathbb{E}(f(X) \cdot g(Y)) = \mathbb{E}(f(X)) \cdot \mathbb{E}(g(Y))$
• $(2) \Rightarrow (1)$: Vamos a $(\tilde{X},\tilde{Y})$ ser tal que $\tilde{X}$, $\tilde{Y}$ son independientes, $\tilde{X} \sim X$, $\tilde{Y} \sim Y$. Entonces $$\mathbb{E}e^{\imath \, (X,Y) \cdot (\xi,\eta)} \stackrel{(2)}{=} \mathbb{E}e^{\imath \, X \cdot \xi} \cdot \mathbb{E}e^{\imath \, Y \cdot \eta} = \mathbb{E}e^{\imath \tilde{X} \cdot \xi} \cdot \mathbb{E}e^{\imath \tilde{Y} \cdot \eta} = \mathbb{E}e^{\imath (\tilde{X},\tilde{Y}) \cdot (\xi,\eta)}$$ i.e. the characteristic functions of $(X,Y)$ and $(\tilde{X},\tilde{Y})$ coincide. From the uniqueness of the Fourier transform we conclude $(X,Y) \sim (\tilde{X},\tilde{Y})$. Consequently, $X$ and $$ Y son independientes.

De referencia (no para la prueba, pero el resultado):David Applebaum, B. V. Rajarama Bhat, Johan Kustermans, J. Martin Lindsay, Michael Schuermann, Uwe Franz: Quantum Independiente Incremento de los Procesos de I: Desde la Clásica de la Probabilidad Cuántica Estocástico de Cálculo (Teorema 2.1).