Tratando de construir axiomáticamente el conjunto $\mathbb C$ de los números complejos, mi primer intento fue definir $\mathbb C$ con tres estructuras: suma, multiplicación y conjugación: $\langle\mathbb C,+,\times,{}^*\rangle$ con $\langle\mathbb C,+,\times\rangle$ formando un campo conmutativo y el conjugado definido como un operador unitario tal que (para todo $a$ , $b$ en el conjunto) $(a+b)^*=a^*+b^*$ , $(ab)^*=a^*b^*$ y ${a^*}^*=a$ .
Corolario $0^*=0$ y $1^*=1$ para $0$ y $1$ respectivamente los módulos de suma y multiplicación.
Por supuesto, el conjunto mínimo sobre el que se puede construir esta estructura es $\mathbb Z_2$ con las sumas y multiplicaciones habituales, y el equivalente conjugado a la identidad.
Si exigimos que el conjugado no sea trivial (que no sea la identidad), entonces, por definición, requerimos 4 elementos (los módulos de suma y multiplicación cuyos conjugados deben ser ellos mismos), otro elemento y su conjugado. He encontrado la siguiente estructura sobre $\{0,1,A,B\}$ . $$ \begin{matrix} + & 0 & 1 & A & B \\ \hline 0 & 0 & 1 & A & B \\ 1 & 1 & 0 & B & A \\ A & A & B & 0 & 1 \\ B & B & A & 1 & 0 \\ \end{matrix} \qquad \begin{matrix} \times & 1 & A & B \\ \hline 1 & 1 & A & B \\ A & A & B & 1 \\ B & B & 1 & A \\ \end{matrix} \qquad \begin{matrix} 0^*=0 \\ 1^*=1 \\ A^*=B \\ B^*=A \\ \end{matrix} $$
Un caso especial de conjuntos con la estructura $\langle C,+,\times,{}^*\rangle$ son conjuntos derivados por el producto cartesiano de un campo $F$ con ella misma, definiendo la suma por ordenada y el producto $(a,b)\times(c,d):=(ac-bd,ad+bc)$ y el conjugado de $(a,b)$ como $(a,-b$ ). Para que esta estructura sea un campo es necesario que para cualquier $x,y\in F$ entonces $xx+yy\neq 0$ (a menos que $x=y=0$ ). Esto significa que ${\mathbb Z_3}^2$ puede formar un campo complejo, mientras que ${\mathbb Z_5}^2$ no puede (al menos no según esta definición).
Una forma de garantizar $xx+yy\ne0$ es tener un orden total en $F$ que es compatible con su suma y multiplicación: es decir, que existe un subconjunto positivo $F_+\subset F$ en el que la suma y la multiplicación son cerradas, con $0\notin F_+$ y para cualquier $x\ne0$ entonces $\{x,-x\}\cap F_+\ne\emptyset$ . Dada esta estructura es fácil demostrar que $xx$ es positivo (y, por tanto, distinto de cero) y $xx+yy$ es positivo (y, por tanto, distinto de cero).
El campo mínimo con positivos son los números racionales $\mathbb Q$ lo que significa que podemos construir un campo complejo a partir de $\mathbb Q^2$ .
Nota: en un campo $F$ con positivos $F_+$ el módulo aditivo $1$ debe ser positivo y podemos encontrar un subconjunto inductivo $N$ (al tener $n+1\in N$ si $n\in N$ ) que es análogo a los números naturales $\mathbb N$ . Completando el subcampo derivado por $N$ debemos tener una estructura análoga a $\mathbb Q$ contenida en $F$ .
Si superponemos una estructura de convergencia en $\mathbb Q^2$ entonces llegaremos a $\mathbb C$ .
Sin embargo, quiero definir $\mathbb C$ axiomáticamente y no por construcción.
Pregunta
Además de una estructura de campo y un conjugado no trivial, ¿qué otras estructuras se pueden imponer a un conjunto $C, \langle C,+,\times,{}^*\rangle$ para que terminemos con $\mathbb C$ ?
(Puedo definir el subconjunto $R$ de puntos fijos de $C$ por ${}^*$ y exigen positividad en $R$ pero, de alguna manera, parece una trampa).
