¿Por qué nosotros debemos distinguir entre números racionales e irracionales?

Question

La diferencia entre números racionales e irracionales se indica siempre como: números racionales pueden escribirse como el cociente de dos enteros, y números irracionales no se puede. Sin embargo, ¿por qué ¿matemáticos hacen una distinción entre estos dos tipos de números? ¿Por qué son especiales de todos modos, aparte de ser históricamente significativo enteros?

¿Hay alguna propiedad que racionales o números irracionales aparte, que no sea la manera en que están escritas en nuestro sistema de numeración?

Answer 1

He aquí un ejemplo de que la diferencia entre los números racionales y los números irracionales asuntos. Considere la posibilidad de un círculo de la circunferencia de $1$ (en las unidades que usted elija), y supongamos que tenemos una hormiga (de tamaño infinitesimal, por supuesto) en el círculo que se mueve hacia adelante por $f$ instantáneamente una vez por segundo. Entonces la hormiga volverá a su punto de partida si y sólo si $f$ es un número racional.

Tal vez era un poco artificial. Cómo acerca de este lugar? Considere la posibilidad de un infinito cuadrado de la rejilla con un punto elegido $O$. Elegir otro punto $P$ y dibujar el segmento de línea $S P$. Escoger un ángulo $\theta$ y dibujar una línea a $L$ a partir de $O$ de modo que el ángulo entre $L$ y $S P$ es $\theta$. A continuación, la línea $L$ pasa a través de una red punto a otro de $S$ si y sólo si $\tan \theta$ es racional.

En general, la diferencia entre lo racional y lo irracional se vuelve más evidente cuando se tiene algún tipo de periodicidad en el espacio o en el tiempo, como en los ejemplos anteriores.

Answer 2

Una cosa está en cómo se construyen. A partir de los números naturales (y $0$) construir los números enteros diciendo que $\mathbb{Z}$ es el conjunto más pequeño que contiene los productos naturales y es un grupo en virtud de la adición. Del mismo modo, los racionales de $\mathbb{Q}$ es el conjunto más pequeño que contiene a $\mathbb{Z}$ que forma un grupo bajo la multiplicación (cuando $0$ es). Los reales de $\mathbb{R}$ entonces puede ser construido mediante la definición de ser el conjunto más pequeño que contiene a $\mathbb{Q}$ en el que cada conjunto acotado tiene al menos un límite superior.

Answer 3

Otro ejemplo donde se diferencian. Tomar cualquier polinomio a_nx $^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ldots a_1x + a_0$ con coeficientes del número entero. Usted puede encontrar fácilmente todo racionales raíces de ese polinomio: cualquier raíz racional $\frac{p}{q}$ (con $p$, relativamente privilegiada enteros de $q$) debe satisfacer: $p$ divide $a_0$ y $ $q divide $a_n$. Tan finito hay muchas posibilidades que usted puede comprobar con la mano.

En general no es fácil para encontrar raíces irracionales.

Answer 4

¿Por qué son enteros especial de todos modos, aparte de ser históricamente significativo?

Desde una perspectiva técnica, es bueno saber que se puede realizar exacta de los cálculos sobre los racionales. En los números irracionales, que han de aproximarse a menos que se limita a un subconjunto de los números irracionales, como por ejemplo, una extensión como $\mathbb Q[\sqrt2]$ o de los números algebraicos $\bar{\mathbb Q}$. Pero incluso cuando se realizan los cálculos con dichos campos, muchas de las operaciones internamente están formulados en los números racionales, que a su vez están formulados en enteros.

Entonces, en un sentido, nada puede expresar con números racionales es algo que se puede calcular en un sencillo camino (a pesar de que sigue utilizando racionales basados en la longitud arbitraria enteros, frente a los números de punto flotante), sin perder exactitud. Cualquier cosa que involucre reales tiene un error no: usted no puede ni siquiera entrar en un único irracional número real a menos que se utilice una fórmula que se describe cómo se calcula a partir de los números racionales.

Answer 5

Desde una perspectiva algebraica, si crees en la "naturalidad" de $\mathbb{R}$ o \mathbb{C}$ $, entonces $\mathbb{Q}$ se sienta naturalmente dentro de ellos como el subcampo mínimo de característico cero. Topológicamente es también vale la pena destacar que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{R}$. Estas son dos propiedades que ilustran que $\mathbb{Q}$ es realmente un conjunto natural e interesante.