Relaciones integrales en Fricke y Klein

Question

¿Puede alguien explicar cómo Fricke y Klein obtienen la relación integral que se indica en la parte superior de la p. 34 en este libro ? El libro completo se puede previsualizar en Google Books. Es un libro antiguo y no hablo alemán. Además, ¿hay algún relato moderno de esto en algún lugar de la literatura moderna?

Answer 1

Utilizando la forma normal de Weierstrass, tratemos de entender la integral elíptica

$$ \int \frac{dy}{\sqrt{4y^3 - g_2 y - g_3}} $$

Para reducir el número de parámetros, Fricke y Klein hacen un cambio de variables $y = \frac{g_2}{g_3}z$ . La curva elíptica tiene dos períodos básicos

$$ \Omega = \int \frac{dz}{\sqrt{4z^3 + g(z+1)}} \text{ and } -H = \int \frac{z\,dz}{\sqrt{4z^3 + g(z+1)}} $$ Este nuevo parámetro $g$ es básicamente el $J$ -invariante disfrazado. $\frac{27 J}{1-J} = g $ . Llamemos al denominador $R = \sqrt{\dots}$ .

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¿Qué pasa si cambiamos $g$ ? Diferenciemos bajo el signo integral:

\begin{eqnarray} \frac{d\Omega}{dg} &=& - &\int \frac{dz}{2R^3} & - &\int \frac{z \, dz}{2R^3}\\ \frac{dH}{dg} &=& & \int \frac{z \, dz}{2R^3} &+& \int \frac{z^2 \, dz}{2R^3} \end{eqnarray}

Estos son los llamados Ecuaciones de Picard-Fuchs . En el lenguaje moderno, esto es un ejemplo de la Conexión Gauss-Manin .

La integral de cualquier derivada a lo largo de un camino cerrado en la curva elíptica va a ser cero.

$$ \int d\left(\frac{z^a}{R}\right) = \int \frac{a z^{a-1}}{R} - \int \frac{z^a(12 z^2 + g)}{2R^3} = 0 \tag{$ \N - El brindis $}$$

El primer paso dice que la derivada y la integral son operaciones inversas: el teorema fundamental del cálculo. Para un camino cerrado, los dos puntos finales son iguales, por lo que la integral es cero. Para el segundo paso utiliza la regla del cociente para las derivadas y la definición de R como denominador.

La primera relación proviene de la fijación de $a = 0$ sin ningún cambio. La segunda y la tercera relación parten de la fijación de $a = 1,2$ con alguna manipulación extra.

EDITAR Sí, se caen de $R^2 = 4z^3 + g(z+1)$ y la definición de los períodos $\Omega, H$ .

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Fricke y Klein resuelven los períodos y finalmente encuentran la ecuación diferencial el período $\Omega$ satisface en términos del invariante de la curva elíptica $J$ :

$$ \frac{d^2 \Omega}{dJ^2} + \frac{1}{J} \cdot \frac{d \Omega}{dJ} + \frac{\frac{31}{144}J- \frac{1}{36}}{J^2(J-1)^2}\Omega = 0$$

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¿Cuándo es $\oint \neq 0$ ?

El teorema fundamental del cálculo dice: $\int_a^b F'(x) \, dx = F(b) - F(a)$ por lo que integramos a lo largo de un camino cerrado, $a = b$ por lo que la integral debería ser $F(b) - F(a) = 0$ . Todavía,

$$ \int_{|z|=1} \frac{dz}{z} = 2\pi i \neq 0 $$

Lo que falla es que $\frac{1}{z}$ no es holomorfa en $\mathbb{C}$ sólo es holomorfa en $\mathbb{C} \backslash \{0\}$ . Al eliminar el único punto ya no tenemos un plano, sino un plano perforado. El círculo $|z| = 1$ se mueve alrededor de este pinchazo y por lo tanto la integración tiene un residuo.

Otra cuestión importante es $\frac{1}{\sqrt{z}}$ . El problema aquí es que a medida que nos movemos alrededor del círculo unitario desde $1$ a sí mismo, las raíces cuadradas van a $-1$ .

$$ \sqrt{1} = \color{blue}{\mathbf{1}} \to \sqrt{i} = \mathbf{\tfrac{\color{blue}{1+i}}{\color{blue}{\sqrt{2}}}} \to \sqrt{-1} = \mathbf{\color{blue}{i}}\to \sqrt{-i} = \mathbf{\tfrac{\color{blue}{1-i}}{\color{blue}{\sqrt{2}}}} \to \sqrt{1} = -\mathbf{\color{green}{1}}$$

Básicamente, todos los números tienen dos raíces cuadradas, excepto $0$ por lo que la superficie de Riemann $\{ (z, \pm \sqrt{z}): z \in \mathbb{C} \}$ tiene ramificaciones en $0$ .

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Utilizando la identidad $(\ast)$ con $a=1$ podemos resolver el 2do. identidad.

\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\Omega = \frac{1}{2}\int \frac{dz}{R} = \frac{1}{2}\int \frac{R^2 }{R^3 } dz &=& \frac{1}{2}\int \frac{4z^3 + g(z+1) }{R^3 } dz \\ &=& \frac{1}{2}\int \frac{4z^3 + g(z+1) + (-4z^3 + g(z+2))}{R^3 } dz \\ &=& 2g \int \frac{ z \, dz}{2R^3 } + 3g \int \frac{ dz}{2R^3 } \end{eqnarray}

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Utilizando la identidad $(\ast)$ con $a=2$ podemos resolver el 3ª identidad.

\begin{eqnarray} \tfrac{1}{2}H = -\tfrac{1}{2}\int \frac{z}{R} \, dz = -\frac{1}{2}\int \frac{z R^2}{R^3} \, dz &=& - \frac{1}{2}\int \frac{z(4z^3 + g(z+1)) }{R^3 } dz \\ &=& -\frac{1}{2}\int \frac{ -g(3z^2 + 4z) + g(z+1)z }{R^3 } dz \\ &=& 2g \int \frac{ z^2 \,dz }{2R^3 } + 3g\int \frac{ z \,dz}{2R^3 } \end{eqnarray}