Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y $$0\rightarrow M'\rightarrow M\rightarrow M''\rightarrow0$$ una breve secuencia exacta de $A$-módulos. La siguiente relación de inclusión es bien conocido: $$\operatorname{Ass}M'\subseteq\operatorname{Ass}M\subseteq\operatorname{Ass}M'\cup\operatorname{Ass}M''$$ Esta relación aún mantiene "débil" asociados de los números primos; $\operatorname{WeakAss}M$ es el conjunto de los números primos mínima sobre algunos $\operatorname{ann} m\subset A$ donde $m\in M$. Ahora vamos a definir $\operatorname{PseudoAss}(M)$ para el conjunto de los números primos de la forma $\sqrt{\operatorname{ann}m}$ algunos $m\in M$. (Tenga en cuenta que $\operatorname{Ass}M\subseteq\operatorname{PseudoAss}M\subseteq\operatorname{WeakAss}M$.) Mi pregunta es:
¿La relación de inclusión mantener pseudo-asocia los números primos?
La inclusión es claramente cierto, pero las técnicas estándar utilizadas para probar la segunda inclusión ($\operatorname{Ass}$ o $\operatorname{WeakAss}$) no parecen funcionar.
La razón por la que estoy interesado en $\operatorname{PseudoAss}M$ es debido a que se produce naturalmente en la primaria de la descomposición de los submódulos. Me parece un poco raro que es pseudo asociados de los números primos y no más general débiles asociados de los números primos que se producen naturalmente en la primaria de la descomposición.
Edit: Hay un teorema que dice que si $A$ es Noetherian, a continuación, $\operatorname{WeakAss}M=\operatorname{Ass}M$ (misma referencia anteriormente), por lo que cualquier contador de ejemplo debe ser sobre un no-Noetherian anillo.
