¿Existen ejemplos de subespacios de $\ell^{2}$ y $\ell^{\infty}$ que no están cerradas?
Tomemos el subespacio de $\ell^2$ (o $\ell^\infty$ ) formada por secuencias con un número finito de coordenadas distintas de cero.
Claramente, se trata de un subespacio (la suma de secuencias sigue teniendo como máximo # de nonzeros de la primera seq + # de nonzeros en la segunda seq, la escala de una secuencia tiene los mismos nonzeros). Sin embargo, se puede tomar cualquier secuencia en $\ell^2$ (o $c_0 \subset \ell^\infty$ un subespacio cerrado), $a$ y definir la secuencia de secuencias $\{a_n\}$ donde $a_n$ consiste sólo en el primer $n$ elementos de $a$ y el resto de ceros, y ver $a_n \to a$ .
La última afirmación no es cierta para $\ell^\infty$ Sólo para $\ell^2$ . El cierre del subespacio de secuencias finitas en $\ell^\infty$ es $c_0$ no $\ell^\infty$ . El subespacio aún no está cerrado en $\ell^\infty$ por supuesto.
Como observación, todo subespacio generado por un número contable de vectores linealmente independientes (es decir, un subespacio de dimensión $\aleph_0$ ) dentro de un espacio de Banach no es cerrado, ya que un espacio de Banach no puede tener dimensión (algebraica) $\aleph_0$ . (si fuera cerrado, sería en sí mismo un espacio de Banach).
Para $1< x<2$ el espacio $l^x$ es un subespacio vectorial no cerrado de $l^2.$
Dejemos que $(A_j)_{j\in \mathbb N}$ sea una secuencia real positiva estrictamente creciente que converge a $1/x.$
Para $i,j, \in \mathbb N$ dejar $B_{i,j}=0$ si $j>i,$ y $B_{i,j}=j^{-A_j}$ si $j\leq i.$ Dejemos que $v_i=(B_{i,j})_{j\in \mathbb N}.$
Dado que sólo un número finito de coordenadas de cada $v_i$ son distintos de cero, tenemos $\{v_i:i\in \mathbb N\}\subset l^x.$
Dejemos que $u= (u_j)_{j\in \mathbb N}=(\;j^{-B_{j,j}}\;)_{j\in \mathbb R}=(\;j^{-A_j})_{j\in \mathbb N}.$
Tome $d\in (0,1-x/2).$ Toma $j_0$ tal que $j\geq j_0\implies A_j>(1-d)/x.$ Entonces $j\geq j_0 \implies 2A_j>2(1-d)/x>1.$ Así que $$\sum_{j=j_0}^{\infty} u_j^2=\sum_{j=j_0}^{\infty}j^{-2A_j}\leq \sum_{j=j_0}^{\infty}j^{-2(1-d)/x}<\infty.$$ Por lo tanto, $u\in l^2.$
Ahora $u\not \in l^x$ porque $u_j^x=j^{-xA_j}>j^{-1}$ así que $$\sum_{j=1}^{\infty} u_j^x\geq \sum_{j=1}^{\infty} j^{-1}=\infty.$$
Dejaré que sea usted quien demuestre que $\lim_{j\to \infty} \|u-v_j\|_2=0.$ Así que en $l^2,$ el vector $u$ pertenece a $Cl(l^x)$ pero no a $l^x.$
El hecho de que $l^x$ es un espacio vectorial para cualquier $x>1$ es otra historia, que estoy seguro de que puede encontrar en este sitio.
¿Está sugiriendo que $\ell^1$ está cerrado en $\ell^2$ ? O, para el caso, $\ell^x$ para $x<1$ ?
Lo que quise decir es que usted omitió explícitamente $x=1$ como si fuera diferente, lo que puede sugerir que en realidad es diferente, que (por lo que veo), no lo es en este caso, ni tampoco $0<x<1$ .
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El subespacio generado por la combinación lineal FINITA de $(1,0,0,\cdots),(0,1,0,\cdots),(0,0,1,0,\cdots),\cdots$ en $l^2$ no está cerrado ya que, por ejemplo $(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots)$ es un punto límite del subespacio que he definido, pero no se encuentra en el subespacio.
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Casi todos los subespacios de dimensión infinita no son cerrados.