Deje $\| \|$ ser cualquier norma en $\mathbb{R}^d$. Considere ahora $d$ normativa espacios vectoriales $(V_i, \|\|_i)$ y deje $V$ ser el producto cartesiano espacio vectorial. Es la función de $f$, determinado de acuerdo con la regla de $f(v) = \|(\|v_1\|_1, \ldots, \|v_d\|_d)\|$, una norma en la $V$? (Puedo probar de todo, pero la desigualdad de triángulo. Como cuestión de hecho, cualquier norma en $\mathbb{R}^d$ cuyas entradas son no decrecientes hará $f$ la norma; en particular, cualquier $p$-norma hacer $f$ normas$p\in[1,\infty]$-).
Respuesta
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La respuesta es no en general:
Deje $\lVert\cdot\rVert$ ser la norma definida en $\mathbb{R}^2$ por: $$\lVert(x,y)\rVert=\lvert x+y\rvert+2\lvert x-y\rvert.$$
Luego de considerar las normas de $\lVert\cdot\rVert_1$ $\lVert\cdot\rVert_\infty$ en $\mathbb{R}^2$ y definir $$\forall v\in\mathbb{R}^4,\ f(v_1,v_2,v_3,v_4)=\Bigl\lVert\bigl(\lVert (v_1,v_2)\rVert_1,\lVert(v_3,v_4)\rVert_\infty\bigr)\Bigr\rVert.$$
Entonces: $$\begin{align*} f(2,0,2,0)&=\lVert(2,2)\rVert=4,\\ f(0,1,0,1)&=\lVert(1,1)\rVert=2,\\ f(2,1,2,1)&=\lVert(3,2)\rVert=5+2=7\\ &\not\leq f(2,0,2,0)+f(0,1,0,1)=6. \end{align*}$$
