¿Cuáles son las condiciones que garantizan que un operador lineal sobre un espacio de Hilbert separable tiene una discreta del espectro y sus vectores propios formar una base?

Question

Estoy particularmente interesed en respuestas tales como:

• simétrica, acotado, positivo.

• auto-adjunto, y limitada

• essentialy auto-adjuntos y positivo.

(Aquellos que fueron inventados)

Estoy interesado en esta cuestión en el marco de la mecánica Cuántica.

Muchas gracias!

Answer 1

Si los vectores propios de a $T$ formulario de una base, el operador es necesariamente normal. Así, una condición necesaria es que el $T$ está densamente definido y normal.

Desde $Te_n-\lambda_ne_n$ para todos los vectores propios $e_n$ y estos forman una base, tenemos que $T=\sum_n\lambda _nP_n$, donde el $P_n$ son proyecciones. Esto no caracterizar discreta del espectro, a pesar de que, como la secuencia de $\{\lambda_n\}$ podría haber acumulación de puntos.

Para las condiciones suficientes, se podría haber

• $T$ es normal y finito de rango.

• $T$ es una combinación lineal de las proyecciones.

Si buscamos ilimitado a los operadores, el espectro tendrá que ser una desenfrenada secuencia sin acumulación de puntos. Si $\lambda_0\in\mathbb C$ no $\sigma(T)$, $\lambda_0 I+T$ es invertible, y el espectro de $(\lambda_0 I+T)^{-1}$ se compone de una secuencia $\{\lambda_n\}$$\lambda_n\to0$. Esto nos da otra condición suficiente:

• Para cualquier $\lambda_0\not\in \sigma(T)$ el operador $(\lambda_0 I+T)^{-1}$ es normal y compacto.

La condición anterior no es todavía necesario: dada una secuencia de pares ortogonal infinito proyecciones de $\{P_n\}$, podemos construir $$ T=\sum_n n\,P_n. $$