Cálculo del número de clases de equivalencia en las que dos puntos son equivalentes si se pueden unir por un camino continuo.

Question

Q. Sea $G$ sea un conjunto abierto en $\Bbb R^n$ . Dos puntos $x,y \in G$ se dice que son equivalentes si se pueden unir por un camino continuo que esté completamente dentro de $G$ . El número de clases de equivalencia es

1. Sólo uno.
2. A lo sumo finito.
3. Como mucho, contable.
4. Puede ser finito, contable o incontable.

Esta pregunta se hizo en el examen NET de diciembre de 2016.

Podemos descartar la primera opción tomando $n=1$ y $G=(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ .

Podemos rechazar la segunda opción tomando $n=1$ y $G=\cup_{k \in \Bbb Z} (k,k+1).$

Ahora comienza la diversión. ¿Podemos obtener un número incontable de subconjuntos conectados de caminos abiertos disjuntos de $\Bbb R^n$ para algunos $n$ ? Si es así, entonces podemos tomar $G$ para ser su unión. Para $n=1$ Este método falla porque nos daría la contradicción de que el conjunto de los números irracionales es contable.

Answer 1

Es imposible tener un número incontable de clases de equivalencia. Obsérvese que cada clase de equivalencia es un conjunto abierto, ya que las bolas están conectadas por caminos y, por tanto, si $x\in G$ entonces cualquier balón abierto alrededor $x$ contenida en $G$ está en la misma clase de equivalencia. Ahora cualquier subconjunto abierto no vacío de $\mathbb{R}^n$ contiene un elemento de $\mathbb{Q}^n$ por lo que cada clase de equivalencia debe contener algún elemento de $\mathbb{Q}^n$ . Desde $\mathbb{Q}^n$ es contable, sólo puede haber un número contable de clases de equivalencia.

En general, este argumento se aplica con $\mathbb{R}^n$ sustituido por cualquier espacio separable localmente conectado por un camino.

Answer 2

Como subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ es la unión de a lo sumo un número contable de bolas abiertas (centradas en puntos con coordenadas racionales y que tienen un radio racional), la respuesta 3. es la correcta.