¿Existe una ley que permita sumar o multiplicar a ambos lados de una ecuación?

Question

Parece que dada una declaración $a = b$ que $a + c = b + c$ se supone que también es cierto.

¿Por qué no es un axioma de la aritmética, como la ley conmutativa o la ley asociativa?

¿O es una consecuencia de algún otro axioma de la aritmética?

Gracias.

Edición: Entiendo el significado intuitivo de la igualdad. Las respuestas que afirmaban que $a = b$ significa que son el mismo número u objeto tiene sentido, pero lo que pregunto es si existe una ley de sustitución explícita que nos permita hacer de esta verdad intuitiva una deducción matemática válida. Por ejemplo, ¿hay algún axioma de los Axiomas de Peano o algún otro sistema axiomático que permita sumar o multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número?

En todos los textos que he encontrado nunca he visto un axioma que diga que si $a = b$ entonces $a + c = b + c$ . Sin embargo, he visto que si $a < b$ entonces $a + c < b + c$ . En mi opinión $<$ y $=$ son similares, por lo que resulta extraña la ausencia de una definición de igualdad.

Answer 1

Si se le da ese $$a = b$$ entonces siempre se puede deducir que $$f(a) = f(b)$$ para una función $f$ . Eso es lo que significa ser una función. Sin embargo, si se le da $$f(a) = f(b)$$ entonces no se puede deducir $$a = b$$ a menos que la función sea inyectiva (invertible) sobre un dominio que contenga $a$ y $b$ .

Para su problema, $f(x) = x + c$ .

Answer 2

Esta es una propiedad básica de la igualdad. Una ecuación como $$a=b$$ significa que $a$ y $b$ son diferentes nombres para el mismo número . Si haces algo para $a$ y tú haces lo mismo con $b$ debe obtener el mismo resultado porque $a$ y $b$ eran los mismos para empezar.

Por ejemplo, ¿cómo sabemos que Samuel Clemens y Mark Twain eran iguales en altura? Muy sencillo: Porque eran la misma persona.

¿Cómo sabemos que $a+c$ y $b+c$ ¿son números iguales? Porque $a$ y $b$ son el mismo número.

Answer 3

Este es un axioma de la lógica de predicados. Por ejemplo, comprueba esto lista de los axiomas en el calulo de predicado pretende ser una lógica ambiental para la teoría de conjuntos ZFC. Obsérvense los axiomas 13 y 14:

$$\vdash x=y\to (x\in z\to y\in z)$$ $$\vdash x=y\to (z\in x\to z\in y)$$

En la teoría de conjuntos, las únicas fórmulas atómicas básicas son de la forma $x=y$ o $x\in y$ por lo que esto, junto con la transitividad de la igualdad (axioma 8), que le permitirá demostrar

$$\vdash x=y\to (x=z\to y=z)$$ $$\vdash x=y\to (z=x\to z=y),$$

es suficiente para demostrar por inducción que para cualquier predicado del lenguaje $\varphi(x)$ es un teorema que

$$\vdash x=y\to(\varphi(x)\leftrightarrow \varphi(y)).$$

Y una vez que se definen los términos de la clase a través de $x\in\{x\mid\varphi\}\leftrightarrow\varphi$ , puede probar

$$\vdash x=y\to A(x)=A(y)$$

para cualquier término de clase $A(x)$ convirtiéndola en la declaración $$\vdash x=y\to (z\in A(x)\leftrightarrow z\in A(y))$$

utilizando la extensionalidad y aplicando el teorema anterior para los predicados. Esto demuestra cómo la regla $x=y\to f(x)=f(y)$ se traduce en una prueba rigurosa en un sistema formal.

Answer 4

Esto es una consecuencia de la propiedad de sustitución. Sabemos que $a + c = a + c$ ¿verdad? Ciertamente $a + c$ es lo mismo que $a + c$ . Pero como $b$ es lo mismo que $a$ se deduce que $a + c = b + c$ .

Answer 5

Tal vez no entiendas que la gente diga "eso es lo que significa la igualdad". Es el resultado natural de la igualdad. La propiedad básica de la igualdad es que una cosa igual puede ser sustituida por otra. Así que si A = B, entonces puedes sustituir A por B, o B por A, en cualquier lugar que se encuentre. Si quieres la prueba más larga:

A = B  (initial proposition)
A = A  (equality substitution)
A + C = A + C  (all things are equal to themselves)  
A + C = B + C  (equality substitution)