¿Cuál es una metáfora del mundo real para los números irracionales?

Question

En un esfuerzo por desarrollar un mejor sentido numérico (y para crear mi propio viaje desde el pez hasta el infinito), he estado repasando el material de matemáticas de Khan Academy desde el principio. Hasta ahora, he podido desarrollar fuertes intuiciones y metáforas para la mayoría de las ideas matemáticas elementales. Ahora veo que la aritmética, la división, los números negativos, fracciones, decimales, factores, múltiplos, etc. tienen una clara base en la realidad; tengo un entendimiento mucho más sólido del material.

Hasta ahora, el único lugar donde mi intuición ha fallado son los números irracionales. Fue sorprendente para mí porque sucedió tan repentinamente, como si el suelo cediera. Fue como si viéramos este agujero enorme en el suelo, lo rodeáramos con cuidado y fingiéramos que no estaba ahí. Esto me preocupa.

¿Existe alguna metáfora sencilla para los números irracionales? ¿Podrías explicárselo a un niño?

Answer 1

Aquí tienes una metáfora física:

Dibuja un círculo y prepara dos palos:

• Uno con la longitud del diámetro del círculo (2r)
• Uno con la longitud de la circunferencia del círculo (2πr)

No puedes cortar ambos palos en piezas de la misma longitud, sin importar la longitud que elijas.

En otras palabras, no puedes medir ambos palos usando la misma unidad de medida.

Puedes intentar con metros, pies, pulgadas, millas, o incluso inventar tu propia unidad de medida.

Nunca podrás lograr esto, porque la proporción entre los palos es irracional.

Answer 2

Soy historiador de la ciencia y me intriga esta pregunta, porque no soy especialista en matemáticas pero durante muchos años enseñé clases sobre los pitagóricos. Una cosa que podrías considerar para hacer que los números irracionales sean "reales" es imaginar por qué fueron considerados tan revolucionarios e importantes por los antiguos griegos. En otras palabras, en lugar de buscar una ilustración de su realidad práctica, mira en cambio por qué eran tan interesantes. Una respuesta que aún no se ha abordado es la afirmación de que las formas son una mejor representación de la realidad que los números. Un número irracional es la única manera, en el lenguaje de los números, de representar una distancia "real" que no puede ser expresada como una relación entre dos números enteros. Y sin embargo, todos sabemos que esas distancias son de hecho reales, es decir, la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Esa realidad, en cambio, se expresa bastante fácilmente visualmente a través de la geometría, que es una de las razones por las que Euclides pasó tanto tiempo estableciendo las reglas de las formas geométricas. Recuerda que él era fundamentalmente un filósofo. Se podría argumentar que las formas geométricas (a las que los filósofos platónicos creían que toda la realidad se podía reducir, es decir, las "formas") son una mejor representación de la realidad que los números.

Al mencionar metáforas, has puesto el dedo en el fascinante problema de la realidad planteado por los números irracionales. El momento "¡guau!" respecto a los números irracionales generalmente ocurre cuando reconsideramos lo que hay detrás del teorema que todos tuvimos que memorizar en la escuela. Irracional tiene un significado literal (sin posible relación), pero también sugiere la disonancia cognitiva entre números y formas, y ayuda a explicar por qué las formas fueron percibidas como fundamentales entre algunos de los antiguos griegos.

Answer 3

Aquí una metáfora basada en la irracionalidad de $\sqrt{2}$:

Cada día dos amigos $A$ y $B$ entran en un campo cuadrado por uno de sus vértices, trotan un rato y salen por el mismo vértice. $A$ trota a lo largo del borde del campo (siempre en la misma dirección) mientras que $B$ trota a lo largo de la diagonal que une el vértice de entrada con su opuesto (cambiando de dirección solo cuando llega a un vértice).

$A$ y $B$ nunca trotan la misma distancia.

Answer 4

Toma una hoja de papel cuadriculado y dibuja dos ejes.

Dibuja una línea, ni horizontal ni vertical, que pase por el origen. Si esta línea atraviesa la esquina de uno de los cuadraditos (excluyendo el origen), entonces su pendiente es _raciona_l. Si no es así, entonces su pendiente es irracional.

En otras palabras, la existencia de números irracionales significa que podemos "pararnos" en el origen y apuntar con un láser en direcciones especiales y no "tocar" ninguna esquina de ningún "cuadradito".

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Se representan a continuación dos líneas que pasan por el origen. La línea azul tiene una pendiente de 2 y la línea rosa tiene una pendiente de $\pi$.

La línea azul pasa por $(1,2)$ y $(2,4)$, que son esquinas de "cuadraditos". El rayo láser "da en el blanco". Esto no es casualidad. Después de todo, para dibujar la línea azul, simplemente conectamos $(0,0)$ y $(1,2)$. Damos en el blanco intencionalmente.

Si no queremos que el rayo láser "toque" nada, podemos hacer que la línea pase por $(1,\pi)$. Dado que $\pi$ es irracional, el rayo láser viajará sin fin, siempre evitando las esquinas. La irracionalidad nos dice que hay una escapatoria de la "tiranía" de la cuadrícula.

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Más rigurosamente, tenemos una relación de equivalencia en $\mathbb Z \times \mathbb Z \setminus \{0\}$

$$(a,b) \equiv (c, d) \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$

La línea azul representa la clase de equivalencia

$$\cdots \equiv (-3,-6) \equiv (-2,-4) \equiv (-1,-2) \equiv (1,2) \equiv (2,4) \equiv (3,6) \equiv \cdots$$

que corresponde al número racional $\frac 12$.

Answer 5

Supongamos que tenemos un cuadrado cuyo lado es $1$, entonces de acuerdo al teorema de Pitágoras, la longitud de su diagonal es un número cuyo cuadrado es $1^2+1^2=2$.

Sería catastrófico para la geometría si no hubiera un número real que pudiera describir la longitud de la diagonal de un cuadrado.

Los pitagóricos intentaron conformarse con una noción de 'número real' que pudiera ser descrito simplemente en términos de razones de números enteros; es decir, encontrar un número $\frac{a}{b}$ tal que $\left(\frac{a}{b} \right)^2=2$. Pero se puede demostrar que $\left(\frac{a}{b} \right)^2=2$ no tiene solución para los enteros $a$ y $b$, donde podemos tomar estos enteros como positivos. Por lo tanto, no hay un número racional que al ser elevado al cuadrado resulte en $2$.

Por lo tanto, debería haber otros tipos de números que no sean racionales y, por lo tanto, se descubrieron los números irracionales.