De cuántas maneras se pueden distribuir 4 diferentes bolas de entre 3 personas, de tal manera que ninguna de ellas obtiene exactamente 2 pelotas?
Esto es lo que yo hice (por la inclusión–exclusión principio) y no estoy seguro, nos gustaría conocer su opinión: $$3^4-\binom{3}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{1}^2+\binom{3}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{1}$$
Método 1: Si ninguna persona recibe exactamente dos bolas, hay dos casos posibles. Una persona recibe todos los cuatro bolas o una persona recibe tres bolas y la otra persona recibe una pelota.
Caso 1: Una persona recibe todos los cuatro bolas.
Hay tres maneras de seleccionar a la persona que recibe todas las bolas.
Caso 2: Hay tres maneras de seleccionar a la persona que recibe tres bolas, $\binom{4}{3}$ maneras de seleccionar el que tres de las cuatro pelotas de que la persona recibe, y dos maneras de elegir a la persona que recibe el resto de la pelota. En consecuencia, hay $$\binom{3}{1}\binom{4}{3}\binom{2}{1}$$ de la distribución de tres de las bolas para que una persona y una bola a otra persona.
Tenga en cuenta que Parcly Taxel y Jon Mark Perry obtuvo el factor de $$3! = \binom{3}{1}\binom{2}{1}$$ in this case by making the observation that there are $3!$ formas de distribución de los diferentes números de bolas para tres personas diferentes.
Total: Dado que estos casos son distintos, el número de formas de distribución de los cuatro distintos bolas para tres personas, por lo que ninguna persona recibe exactamente dos bolas es $$\binom{3}{1} + \binom{3}{1}\binom{4}{3}\binom{2}{1}$$
Método 2: Excluir aquellos casos en los que una persona recibe exactamente dos bolas del total.
Dado que tanto las personas y las bolas son distintos, no sería $3^4$ formas de distribución de las bolas a la gente si no hay restricciones.
Hay dos casos en los que una persona recibe exactamente dos bolas. Ya sea una persona recibe dos balones, mientras que los demás reciben uno cada uno, o de dos personas reciben dos bolas cada uno.
Caso 1: Una persona recibe dos balones, mientras que los demás reciben uno cada uno.
Hay tres maneras de seleccionar a la persona que recibe dos bolas, $\binom{4}{2}$ maneras de seleccionar las bolas de que la persona recibe, dos maneras de seleccionar una pelota para que el resto de la persona cuyo nombre aparece primero alfabéticamente, y una manera de dar a la persona restante el resto de la pelota. $$\binom{3}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{1}\binom{1}{1}$$
Caso 2: Dos personas cada uno recibe dos bolas.
Hay $\binom{3}{2}$ formas de seleccionar el que dos personas reciben dos bolas, $\binom{4}{2}$ formas para elegir la que las dos bolas se dan a los seleccionados de la persona cuyo nombre aparece primero alfabéticamente, y una manera de dar a los otros dos bolas a la otra persona seleccionada. $$\binom{3}{2}\binom{4}{2}\binom{2}{2}$$
Total: Ya que los casos son distintos, el número de formas de distribución de los cuatro distintos bolas para tres personas, por lo que ninguna persona recibe exactamente dos bolas es $$3^4 - \binom{3}{1}\binom{4}{2}\binom{2}{1} - \binom{3}{2}\binom{4}{2}$$
Método 3: utilizamos la Inclusión-Exclusión Principio.
Hay $3^4$ formas de distribución de los cuatro distintos bolas para tres personas.
Debemos excluir aquellos casos en los que una persona recibe exactamente dos bolas.
Hay tres maneras de seleccionar a una persona para recibir exactamente dos bolas, $\binom{4}{2}$ formas de elección de bolas que esa persona recibe, y $2^2$ formas de distribución de los restantes dos bolas a la de otras personas. Por lo tanto, hay $$\binom{3}{1}\binom{4}{2}2^2$$ formas de distribución de las bolas de manera que una persona recibe exactamente dos de ellos.
Sin embargo, hemos contado esas distribuciones en el que dos personas reciben dos bolas de cada dos veces, una para cada una de las personas que hemos designado como la persona que recibe dos bolas. En el Método 2, se calculó que el número de distribuciones en el que dos personas cada uno recibe dos bolas es $$\binom{3}{2}\binom{4}{2}$$
Por lo tanto, por la Inclusión-Exclusión Principio, el número de formas de distribución de los cuatro distintos bolas para tres personas, por lo que ninguna persona recibe exactamente dos bolas es $$3^4 - \binom{3}{1}\binom{4}{2}2^2 + \binom{3}{2}\binom{4}{2}$$ Se calcula que el último término de manera incorrecta.
Tenga en cuenta que la única particiones de 4 en 3 partes, evitando 2 se $(0,1,3)$$(0,0,4)$.
Por lo tanto, hay 27 formas, dadas las limitaciones, que no coincide con su respuesta de 45.
Aquí está una variación basa en la generación de funciones. La distribución de $0$ $4$ distinguibles bolas para tres personas puede ser representado por \begin{align*} \left(1+t+\frac{1}{2!}t^2+\frac{1}{3!}t^3+\frac{1}{4!}t^4\right)^3\tag{1} \end{align*}
El coeficiente de $t^4$ multiplicado por el $4!=24$ en la ampliación de la expresión de (1) da el número de posibilidades para distribuir cuatro bolas para tres personas.
Ya que no queremos que una persona recibe, precisamente, dos bolas que use un marcador $x$ a indicar este evento.
\begin{align*} \left(1+t+\color{blue}{x}\cdot \frac{1}{2}t^2+\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{24}t^4\right)^3\tag{2} \end{align*}
Utilizamos el coeficiente de operador $[t^j]$ para denotar el coeficiente de $t^j$ en una serie y tienen que calcular el $[t^4x^0]$ (2).
Obtenemos \begin{align*} 4!\cdot[t^4x^0]&\left(1+t+x\cdot\frac{1}{2}t^2+\frac{1}{6}t^3+\frac{1}{24}t^4\right)^3\\ &=4!\cdot[t^4x^0]\left(1+3t+\frac{1}{2}t^2(3x+6)+\frac{1}{6}t^3(18x+9) +\frac{1}{24}t^4(18x^2+36x+27)\right)\\ &=4!\cdot[x^0]\left(\frac{1}{24}(18x^2+36x+27)\right)\\ &=27 \end{align*}
Observamos de $18+36+27=81$ posibilidades para distribuir cuatro distinghishable bolas para tres personas hay
$\qquad\color{blue}{27} $ posibilidades, de modo que ninguno de ellos cuenta con dos pelotas
$\qquad36 $ posibilidades con el fin de que exactamente uno de ellos tiene dos bolas y
$\qquad18 $ posibilidades, de forma que dos de ellas tienen dos bolas.
Comentario:
En la segunda línea nos expanda sólo a los poderes de $t^4$ desde los poderes superiores no contribuir en nada a $[t^4]$. Seleccionamos el coeficiente de $t^4$.
En la siguiente línea se selecciona el coeficiente de $x^0$.
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