Hay un intervalo en la intersección de los subconjuntos compactos en virtud de tal condición?

Question

Supongamos $A$ ser un conjunto de índices, y $A$ es incontable. $\mathcal{F} = \{F_a \}_{a \in A}$ es una familia de subconjuntos compactos en $\mathbb{R},$, $F_a$ es un subconjunto compacto en $\mathbb{R}$ cualquier $a \in A$. Supongamos que para cualquier contables subconjunto $I \subset A$, hay un intervalo de longitud de $1$ contenida en la intersección de las $\{F_i \}_{i_I}$, es decir , el intervalo es de la $\cap_{i \in I} F_i$. Mi pregunta es, hay un intervalo de longitud de $1$ contenida en la intersección de $\{F_a \}_{a\in A}$ ( $\cap_{a \in A} F_a$ ) ?

Answer 1

Deje $\mathcal{F}=\{F_a\}_{a\in A}$ ser una familia de (arbitraria) de subconjuntos de a $\mathbb R$ tal que, para cada contables set $D\subseteq A,$ la intersección $\bigcap_{a\in D}F_a$ contiene un intervalo cerrado de longitud $1,$ y asumir una contradicción que $\bigcap_{a\in A}F_a$ no contiene intervalo cerrado de longitud $1.$

Deje $\{I_n:n\in\mathbb N\}$ ser el conjunto de todos los intervalos de longitud de $\ge1$ con racional de los extremos. Para cada una de las $n\in\mathbb N$ elegir un índice $b_n\in A$ tal que $I_n\not\subseteq F_{b_n}.$ Deje $B=\{b_n:n\in\mathbb N\}$ y deje $F_B=\bigcap_{a\in B}F_a.$

El conjunto $F_B$ no contiene racional intervalo de longitud de $\ge1,$ y ningún intervalo en toda la longitud de la $\gt1.$ Desde $B$ es contable, el conjunto $F_B$ contiene uno o más cerrado intervalos de longitud exactamente $1,$, pero estos intervalos deben ser pares distintos, por lo que hay en la mayoría de los countably muchos de ellos.

Deje $\{J_n:n\in\mathbb N\}$ ser el conjunto de todos los intervalos cerrados de la longitud de la $1$ $F_B.$ Por cada $n\in\mathbb N,$ elegir un índice $c_n\in A$ tal que $J_n\not\subseteq F_{c_n}.$ Deje $C=\{c_n:n\in\mathbb N\}.$ $F_{B\cup C}=\bigcap_{a\in B\cup C}F_a$ no contiene intervalo cerrado de longitud $1.$ Desde $B\cup C$ es contable, hemos llegado a una contradicción.

Answer 2

Dado F_a, existen algunos intervalo L de longitud 1 que figura en F_a. Dado F_b, existen algunos intervalo de longitud 1 que figura en la intersección de F_a y F_b. Puesto que L es un intervalo, se puede suponer que F_b también contiene L. El resultado de la siguiente manera.