Es cierto que $p^{12}+5039\cdot5041$ siempre tiene un factor primo mayor que $7$?

Question

Podemos demostrar que si $p>7$ es una de las principales, a continuación, $2^4\cdot3^2\cdot5\cdot7\mid p^{12}+5039\cdot5041.$

Es cierto que $p^{12}+5039\cdot5041$ siempre tiene un factor primo mayor que $7$?

He comprobado que para $p<10^4,$ pero no sé cómo demostrarlo.

Answer 1

Deje $S$ ser cualquier conjunto finito de números primos y $S^*$ el conjunto de los enteros divisibles únicamente por los números primos en $S$. Para cualquier fija $c\ne 0$, hay sólo un número finito $n$ tal que $n^3 + c \in S^*$.

De un modo elemental para ver esto, observe que cualquier $n$ resuelve un determinado Thue ecuación de $Am^3 - n^3=c$ donde $A$ puede ser restringido a una de las $3^{|S|}$ cubefree números en $S^*$. (Técnicamente, el caso de $A=1$ no es un irreductible forma, pero es muy sencillo ya que la secuencia de cubos crece escasamente.)

Así que si hay algún contraejemplos, hay sólo un número finito, aunque no requerimos que $n=p^4$. De forma heurística yo no espero más de una vez se ha comprobado hasta el $p<10^4$. En teoría, uno puede seguramente calcular todas las excepciones (Pari/GP es un software gratuito que, creo, puede resolver Thue ecuaciones), pero no tengo idea de cómo la práctica de un cálculo, y el Pari sitio parece estar abajo en el momento.