Cómo demostrar que las transformaciones ortocronas de Lorentz $O^+(1,3)$ ¿formar un grupo?

Question

Las transformadas de Lorentz ortocronas son transformadas de Lorentz que satisfacen las condiciones (convención de signos de la métrica minkowskiana $+---$ ) $$ \Lambda^0{}_0 \geq +1.$$ ¿Cómo demostrar que forman un subgrupo del grupo de Lorentz? Todos los libros que he leído sólo dan este resultado, pero ninguna derivación.

¿Por qué esta condición $ \Lambda^0{}_0 \geq +1$ suficiente para que una transformación de Lorentz sea ortocrónica?

La componente temporal de un vector transformado es $$x'^0=\Lambda^0{}_0 x^0+\Lambda^0{}_1 x^1+\Lambda^0{}_2 x^2+\Lambda^0{}_3 x^3,$$ la positividad de $\Lambda^0{}_0$ por sí sola no parece suficiente para la conservación del signo del componente temporal.

Y cómo demostrar que todas las transformadas de Lorentz que satisfacen estas condiciones simples pueden generarse a partir de $J_i,\ K_i$ ?

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Para aquellos que piensan que el cierre y la invertibilidad son obvios, tengan en cuenta que $$\left(\bar{\Lambda}\Lambda \right)^0{}_0\neq \bar{\Lambda}^0{}_0\Lambda^0{}_0,$$ pero en cambio $$\left(\bar{\Lambda}\Lambda \right)^0{}_0= \bar{\Lambda}^0{}_0\Lambda^0{}_0+\bar{\Lambda}^0{}_1\Lambda^1{}_0+\bar{\Lambda}^0{}_2\Lambda^2{}_0+\bar{\Lambda}^0{}_3\Lambda^3{}_0.$$

Y busco una prueba rigurosa, no una "intuición" física.

Answer 1

Sea la métrica de Minkowski $\eta_{\mu\nu}$ en $d+1$ las dimensiones espacio-temporales sean

$$\eta_{\mu\nu}~=~{\rm diag}(1, -1, \ldots,-1).\tag{1}$$

Sea el grupo de Lie de Transformaciones de Lorentz se denotará como $O(1,d;\mathbb{R})=O(d,1;\mathbb{R})$ . Una matriz de Lorentz $\Lambda$ satisface (en notación matricial)

$$ \Lambda^t \eta \Lambda~=~ \eta. \tag{2}$$

Aquí el superíndice " $t$ "denota la transposición de la matriz. Obsérvese que la ec. (2) no depende de si utilizamos la convención de la costa este o la costa oeste para la métrica $\eta_{\mu\nu}$ .

Descompongamos una matriz de Lorentz $\Lambda$ en 4 bloques

$$ \Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}a & b^t \cr c &R \end{array} \right],\tag{3}$$

donde $a=\Lambda^0{}_0$ es un número real; $b$ y $c$ son reales $d\times 1$ vectores columna; y $R$ es un verdadero $d\times d$ matriz.

Definamos ahora el conjunto de transformaciones ortocronas de Lorentz como

$$ O^{+}(1,d;\mathbb{R})~:=~\{\Lambda\in O(1,d;\mathbb{R}) | \Lambda^0{}_0 > 0 \}.\tag{4}$$

La prueba de que se trata de un subgrupo se puede deducir de la siguiente cadena de ejercicios.

Ejercicio 1: Demuestre que

$$ |c|^2~:= ~c^t c~ = ~a^2 -1.\tag{5}$$

Ejercicio 2: Deduce que

$$ |a|~\geq~ 1.\tag{6}$$

Ejercicio 3: Utiliza la ec. (2) para demostrar que

$$ \Lambda \eta^{-1} \Lambda^t~=~ \eta^{-1}. \tag{7}$$

Ejercicio 4: Demuestre que

$$ |b|^2~:= ~b^t b~ = ~a^2 -1.\tag{8}$$

A continuación, consideremos un producto

$$ \Lambda_3~:=~\Lambda_1\Lambda_2\tag{9}$$

de dos matrices de Lorentz $\Lambda_1$ y $\Lambda_2$ .

Ejercicio 5: Demuestre que

$$ b_1\cdot c_2~:=~b_1^t c_2~=~a_3-a_1a_2.\tag{10}$$

Ejercicio 6: Demuestra la desigualdad doble

$$ -\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1} ~\leq~ a_3-a_1a_2~\leq~ \sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1},\tag{11}$$

que puede escribirse de forma compacta como $$| a_3-a_1a_2|~\leq~\sqrt{a_1^2-1}\sqrt{a_2^2-1}.\tag{12}$$

Ejercicio 7: Deduce de la desigualdad doble (11) que

$$ a_1\neq 0 ~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have same signs} \quad\Rightarrow\quad a_3>0. \tag{13}$$ $$ a_1 \neq 0~\text{and}~ a_2\neq 0~\text{have opposite signs} \quad\Rightarrow\quad a_3<0. \tag{14}$$

Ejercicio 8: Utiliza la ec. (13) para demostrar que $O^{+}(1,d;\mathbb{R})$ es estable/cerrado bajo el mapa de multiplicación.

Ejercicio 9: Utiliza la ec. (14) para demostrar que $O^{+}(1,d;\mathbb{R})$ es estable/cerrado bajo el mapa de inversión.

Los ejercicios 1-9 muestran que el conjunto $O^{+}(1,d;\mathbb{R})$ de las transformaciones ortocronas de Lorentz forman un subgrupo. $^{\dagger}$

Referencias:

1. S. Weinberg, Teoría cuántica de los campos, Vol. 1, 1995; p. 57-58.

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$^{\dagger}$ Un matemático probablemente diría que las ecuaciones (13) y (14) muestran que el mapa

$$O(1,d;\mathbb{R})\quad \stackrel{\Phi}{\longrightarrow}\quad \{\pm 1\}~\cong~\mathbb{Z}_2\tag{15}$$

dado por

$$\Phi(\Lambda)~:=~{\rm sgn}(\Lambda^0{}_0)\tag{16}$$

es un homomorfismo de grupo entre el grupo de Lorentz $O(1,d;\mathbb{R})$ y el grupo cíclico $\mathbb{Z}_2$ y un núcleo

$$ {\rm ker}(\Phi)~:=~\Phi^{-1}(1)~=~O^{+}(1,d;\mathbb{R}) \tag{17}$$

est siempre un subgrupo normal.

Para una generalización a los grupos ortogonales indefinidos $O(p,q;\mathbb{R})$ , ver este Puesto de Phys.SE.

Answer 2

Tu problema también me molestó a mí hace tiempo, así que sé lo que preguntas. La parte "propia" es fácil por el hecho de que los determinantes se multiplican bajo la multiplicación de matrices, por lo que restringir al determinante unitario es sencillo. El signo positivo de la componente temporal se demuestra topológicamente.

El grupo de Lorentz desplaza el vector tiempo unitario a algún punto del hiperboloide:

$$ t^2 - x^2 = 1 $$

En cualquier dimensión. Este es un espacio desconectado, hay dos componentes--- las que tienen t>0 y t<0. Para demostrar que es desconectado, se puede ver que no hay soluciones reales a la ecuación con $-1<t<1$ y el teorema del valor intermedio exige que cualquier camino que conecte el hiperboloide superior con el inferior pase por el centro.

Esto significa que cualquier transformación en la que la imagen del vector temporal unitario invierte el signo del tiempo está desconectada de la identidad. Si se observa la componente del grupo de Lorentz conectada a la identidad, no debe invertir el signo del vector tiempo, y la propiedad de estar continuamente conectada a la identidad se conserva bajo la multiplicación y las inversiones, por un argumento fácil (conectar a la identidad y tomar el producto/inverso puntual).

Answer 3

La respuesta de Misha es correcta y completa.

Sin embargo, déjame darte el argumento físico que explica por qué no encuentras la prueba en ningún libro. Las transformaciones ortocronas adecuadas son las rotaciones espaciales y las transformaciones puras de Lorentz (o potenciadoras). Y está claro desde un punto de vista físico que estas transformaciones verifican las leyes de grupo: cierre, existencia de inversa (ángulo opuesto o velocidad) e identidad.

Answer 4

Todo axiomas de grupo están satisfechos y son obvios. El cierre es fácil de demostrar, la asociatividad es fácil de demostrar, la identidad es obvia y la inversa es obvia.

En principio, no se puede imaginar ninguna transformación física que no forme un grupo. La definición de grupo se inspira sobre todo en la idea de movimientos de la física: rotaciones, desplazamientos, transformación de Lorentz, etc.