¿Cómo se usa el hecho de que $\langle \gamma, \lambda \rangle > 0$?

Question

Si puedo publicar todos los detalles de mi pregunta hasta el punto donde estoy atascado, nadie va a querer leer todo eso. Así que espero que haya alguien leyendo esta pregunta, que está familiarizado con Weyl cámaras y sistemas de raíces positivas sabrá de inmediato la respuesta. El libro que yo estoy usando es Humphreys, Algebraicas Lineales Grupos.

$G$ está conectado a un algebraicas lineales grupo con la máxima torus $T$. Regular cocharacter de $T$ es un cocharacter cuya imagen está contenida en exactamente el mismo Borel subgrupos como los que contengan $T$. Si $I(T)$ es la identidad de los componentes de la intersección de todos los Borel subgrupos que contengan $T$, $\mathscr L(I(T))$ $\textrm{Ad } T$ estable, por lo que hay un $\textrm{Ad } T$-estable complemento $$\bigoplus\limits_{\alpha} \mathfrak g_{\alpha}'$$ in $\mathfrak g$ for various nontrivial characters $\alpha$. The set of such characters is denoted $\Psi$.

Esta es la página 157 de Humphreys " del libro. ¿Por qué se da el caso de que $\langle \alpha, \lambda \rangle > 0$ si y sólo si $B(\lambda) \cap Z_{\alpha} = B_{\alpha}$? Esto es cierto por definición al $\lambda = \lambda_0$, pero incluso con el grupo de Weyl equivariance ($w.B(\lambda) = B(w.\lambda)$) y otras cosas que no entiendo el por qué de su afirmación de repente de la siguiente manera. Entiendo que todo el argumento se hasta que punto.

Answer 1

Aquí está la respuesta a mi pregunta en mis propias palabras.

Lema 1: Vamos a $G \times X \rightarrow X$ ser un grupo de acción que puede ser realizado como la acción de un subgrupo cerrado de $\textrm{GL}(V)$ en un circuito cerrado en órbita en el espacio proyectivo $\mathbb{P}(V)$, $\lambda$ un cocharacter de $T$, e $P \in X$. Los morfismos $k^{\ast} \rightarrow X$, $x \mapsto \lambda(x)P$ se extiende (exclusivamente) a una de morfismos $\mathbb{P}^1 \rightarrow X$. Los puntos de $\lambda(0)P$ $\lambda(\infty)P$ son puntos fijos de $\textrm{Image } \lambda$.

Teorema: Vamos a $\lambda$ regular cocharacter de $T$. Deje $\mathcal B$ ser el proyectiva variedad de Borel subgrupos de $G$.

Existe una Borel subgrupo $B(\lambda) \in \mathcal B$, junto con un vecindario $U$$B(\lambda)$, de tal manera que $\lambda(\infty)B' = B(\lambda)$ todos los $B' \in U$.

El grupo $B(\lambda)$ es único y contiene $T$.

Para un dado regular cocharacter $\lambda$, existe un conjunto finito de no trivial de caracteres $\beta_i$, que son triviales en $R(G) \cap T$, y tienen la propiedad de que si $\lambda'$ es regular cocharacter, a continuación, $B(\lambda') = B(\lambda)$ si y sólo si $\langle \beta_i, \lambda' \rangle > 0$ todos los $i$.

Si $w \in W(G,T)$,$w.B(\lambda) = B(w.\lambda)$.

Si el grupo de Weyl $G$ es de orden dos, entonces el teorema de inmediato nos dice que el "finitos" de no trivial de caracteres $\beta_i$ puede ser reemplazado por un único carácter $\beta$.

El Weyl cámara de un punto de $B \in \mathcal B^T$ $$\textrm{wc}(B) = \{ \lambda \in Y(T)_{\textrm{reg}} : B(\lambda) = B\}$$

El último punto del teorema, combinado con el hecho de que $W(G,T)$ actúa en $\mathcal B^T$ simplemente transitivamente, nos dice que la función de $\lambda \mapsto B(\lambda)$ $W(G,T)$- equivariant mapa de $Y(T)_{\textrm{reg}}$ sobre el conjunto finito $\mathcal B^T$, y que el Weyl cámaras son sólo las fibras de esta función.

Si $\beta_i$ son los personajes de $T$ asignado a un regular cocharacter $\lambda$ como en el enunciado del teorema, entonces la condición de que $\lambda'$ $\textrm{wc}(B(\lambda))$ puede ser reformulado como la condición de que $\langle \beta_i, \lambda' \rangle$ $ > 0$ todos los $i$.

Ahora fijar un $\alpha \in \Psi$, y deje $T_{\alpha} = (\textrm{Ker } \alpha)^0$. A continuación, $T_{\alpha}$ es un singular subtorus de $T$ de codimension uno. Podemos hablar de Weyl cámaras y otras cosas en el grupo $Z_G(T_{\alpha})$, cuyo grupo de Weyl es de orden dos. Deje $B_0(\lambda)$ ser el Borel subgrupo asignado a $\lambda$ en el grupo $Z_G(T_{\alpha})$.

Lema 2: Si $B$ es un Borel subgrupo de $G$ contiene $T$, $B \cap Z_G(T_{\alpha})$ es un Borel subgrupo de $Z_G(T_{\alpha})$, que también contiene $T$, e $\textrm{wc}(B) \subseteq \textrm{wc}(B \cap Z_G(T_{\alpha}))$.

Para probar esto, se identifican $\mathcal B_G$$G/B$, e $\mathcal B_{Z_G(T_{\alpha})}$$Z_G(T_{\alpha})/Z_G(T_{\alpha}) \cap B$, y el uso de la singularidad de $B_0(\lambda)$ dada en el teorema.

Ahora a poner todo esto junto, elegir un regular cocharacter $\lambda_0$$\langle \alpha, \lambda_0 \rangle > 0$, y deje $B_{\alpha} = B(\lambda_0) \cap Z_G(T_{\alpha})$. Por el segundo lema, $B_{\alpha} = B_0(\lambda_0)$, y desde el grupo de Weyl es de orden dos, existe un único carácter no trivial $\beta$, trivial en $T \cap R(Z_G(T_{\alpha}))$ (por lo tanto trivial en $T_{\alpha}$), con la propiedad de que $\langle \beta, \lambda \rangle > 0$ si y sólo si $B_0(\lambda) = B_{\alpha}$.

Ahora, el hecho de que $\beta$ es trivial en $T_{\alpha}$ nos dice que $T_{\alpha} \subseteq \textrm{Ker } \beta$, de donde $T_{\alpha} = T_{\beta}$. Algunos de álgebra conmutativa argumento nos da ese $a \alpha = b \beta$ para algunos enteros $a, b$, $b$ positivo. Yo reclamo que $a$ también es positiva: desde $B_0(\lambda_0) = B_{\alpha}$, debemos tener $\langle \beta, \lambda_0 \rangle > 0$. Multiplicando ambos lados por $b$, el hecho de que $\langle \alpha, \lambda_0 \rangle > 0$ muestra que $a$ también debe ser positiva.

Así que simplemente reemplace $\beta$ $\alpha$ aquí; sirven para la misma función. Por lo tanto $B_0(\lambda) = B_{\alpha}$ si y sólo si $\langle \alpha, \lambda \rangle > 0$.

Resultado principal: $B(\lambda) \cap Z_G(T_{\alpha}) = B_{\alpha}$ si y sólo si $\langle \alpha, \lambda \rangle > 0$.

Ahora esto se sigue inmediatamente de la segunda lema y la declaración anterior, debido a que $B(\lambda) \cap Z_G(T_{\alpha}) = B_0(\lambda)$.

Answer 2

El argumento en 25.4 normalmente es un poco denso, y yo creo que tu problema es debido en parte a los cuantificadores involucrados en cada paso. Una vez que el trabajo a cabo una misión de regular $1$-psg a un número finito de Borel subgrupos que contiene el fijo máxima torus $T$, el resto de la argumentación implica una fija $\alpha \in \Psi$. Aquí, de hecho, hay pares de $\pm\alpha$ (con aditivo de notación), relacionados por una especie de "reflexión" llamado aquí $\sigma_\alpha$. Ahora, el $W$-equivariance se aplica a este elemento del grupo de Weyl (siempre en relación a la fija $T$), por lo que "la mitad" de la $\lambda$ le asigna a uno de Borel subgrupo de $Z_\alpha$ y sus imágenes en la reflexión asignados a la segunda.

Mi problema podría ser con cuantificadores. Me parece que la primera selección de un determinado regular cocharacter $\lambda_0$ tal que $\langle\alpha, \lambda_0\rangle > 0$ todos los $\alpha \in \Psi$, y a continuación, establecemos $B_\alpha$ a ser el Borel subgrupo $B(\lambda_0) \cap Z_g((\text{Ker}\,\alpha)^0)$.

No, el primer paso es asignar a cada una de las $\lambda$ uno de un número finito de Borel subgrupos que contengan $T$. No tiene sentido decir como hacer "para todos los $\alpha \in \Psi$", ya que tales raíces y sus puntos negativos dar valores opuestos aquí. Tenga en cuenta que el conjunto especial $\Psi$ de las raíces no tiene ninguna estructura en particular en este punto, pero no consiste de pares de $\alpha$, $-\alpha$. Un par determina un rango de $1$ centralizador grupo con $2$ Borel subgrupos, pero no es posible asignar los Borel subgrupos de $Z$ primero a uno o la otra raíz. (Más tarde, el conjunto $\Psi$ recibe más precisa de la estructura como un sistema de raíz.)

A continuación, fijamos un $\alpha \in \Psi$, y el argumento es que para cada regulares cocharacter $\lambda$, $B(\lambda) \cap Z_G((\text{Ker}\,\alpha)^0) = B_\alpha$ si y sólo si $\langle\alpha, \lambda\rangle > 0$. Que es lo que no entiendo. Como cómo es $\langle \alpha, \lambda\rangle > 0$ relacionado a $\langle \alpha, \lambda_0\rangle > 0$?

Cuando se soluciona $\alpha$, usted tiene que elegir los nombres de las $2$ Borel subgrupos que contengan $T$ aquí. Para esto, toma regular de cocharacter $\lambda_0$ con valor en $\alpha$ positivo. Esto sólo le permite a la etiqueta de la $2$ Borels. (De forma heurística, uno debe visualizar una especie de espacio Euclidiano con un espejo de hyperplane para cada par de raíces, por lo que el regular de puntos se encuentran en diversos Weyl cámaras determinado por el complemento de la hyperplanes. Aquí, usted ha asignado a cada par de raíces positivas y negativas de su hyperplane.) A su vez, tiene ahora asignado a la mitad de la regular cocharacters a la "positiva" Borel eligió, la otra mitad a la "negativa". (De forma heurística, la mitad de los regulares de la $\lambda$ acuéstese sobre el lado positivo de la hyperplane y la mitad en el signo menos.)

Gracias por responder. Yo todavía no lo entiendo. Estás diciendo lo siguiente.

• Paso 1: Reparar $\alpha \in \Psi$.
• Paso 2: Elija $\lambda_0 \in Y(T)_{\text{reg}}$$\langle \alpha, \lambda_0\rangle > 0$, y establecer $B_\alpha := B(\lambda_0) \cap Z_G((\text{Ker}\,\alpha)^0)$.
• Paso 3: Si $\lambda$ es cualquier otro regular cocharacter de $T$$\langle\alpha, \lambda\rangle > 0$,$B(\lambda) \cap Z_G((\text{Ker}\,\alpha)^0) = B_\alpha$.

¿Por qué el Paso 3 verdad?

No es un Paso crucial 0, lo que usted necesita antes de que usted pueda llevar a cabo los Pasos 1-3. Sección 25.4 (Weyl cámaras) de Humphreys está principalmente dedicada a este: Chevalley la asignación de cada uno de los regulares de la $\lambda$ a uno de los $|W|$ Borel subgrupos que contengan $T$. Humphreys del párrafo inicial no es sólo la motivación, mientras que el final de la sección resume, pero le da problemas.

Chevalley la idea principal es que se basan en la forma de tori actuar en una bandera de la variedad, que sustituye a menudo por el uso tradicional de la Mentira de álgebras de Lie del grupo de teoría. Después de asignar el regular $\lambda$ a Weyl cámaras, permutada simplemente transitivamente por $W$, es posible llevar a cabo sus Pasos 1-3. En el Paso 3, la intuición geométrica es que el "hyperplane", hecho de singular $\lambda$ para que la vinculación con su fija $\alpha$ $0$ divide el regular $\lambda$ o Borel subgrupos como se indica. (Tal vez la discusión en Borel de las notas originales, que se reproduce en su Springer texto, sería más útil. Las ideas son las mismas, pero la organización de los argumentos es diferente en cada fuente.) Tenga en cuenta que la reflexión de $\alpha$ cambia las dos de la mitad de los espacios a través de la hyperplane, al mismo tiempo que se intercambia los dos Borel subgrupos de los más pequeños centralizador $Z_\alpha$. (Aquí, la mitad de la Weyl cámaras de dar uno de estos grupos, y la otra mitad para darle a la otra. Pero las etiquetas de estos dos grupos dependen de la convención arbitraria que le hizo por la elección de $\lambda_0$ en el lado positivo de la hyperplane.)

La actualización. Tal vez debería añadir una más algebraicas formulación, implícita en el desarrollo, ya que mis comentarios anteriores han enfatizado más la intuición geométrica y la motivación necesarias para este sutil argumento debido a Chevalley). Después de que el estudio de la fila $1$ centralizadores de singular tori en 25.3, una toma fija de la raíz de $\alpha \in \Psi$ y el grupo correspondiente a $Z = Z_\alpha$, que tiene dos Borel subgrupos $B_\alpha$ $B_\alpha'$ intercambiados por una reflexión $s_\alpha$ generación de la Weyl grupo de $Z$. Este es un subgrupo de la gran grupo de Weyl $W$ y un representante de la $n$$Z$$s_\alpha$. Por lo tanto, la conjugación por $n$ es de $B_\alpha$$B_\alpha'$, y viceversa desde $s_\alpha$ orden $2$.

Después de haber demostrado la principal afirmación de 25.4 sobre la atribución de regular $\lambda$ $|W|$ Borel subgrupos que contengan $T$, uno vuelve a este rango $1$ el programa de instalación. El uso de un arbitrario $\lambda_0$ para que la vinculación con $\alpha$ es positivo, usted designe (decir) $B_\alpha$ como el Borel subgrupo de $Z$ obtenido por la intersección de $Z$$B(\lambda_0)$. A su vez, $W$-equivariance significa que la conjugación de por $n$ un típico $B(\lambda)$ cuya vinculación con $\alpha$ es positivo de los rendimientos de $B(s_\alpha \lambda)$. A su vez, este se cruza con $Z = nZn^{-1}$$nB_\alpha n^{-1} = B_\alpha'$.

Esto produce lo que necesita en la declaración de Humphreys resumen en la Proposición 25.4. Es todo un poco complicado de escribir, pero está cerca del núcleo de Chevalley del programa. Hasta el momento, por supuesto, usted sólo mirar una raíz en un momento, pero para su clasificación completa teorema usted necesita para tratar con pares independientes de las raíces. (Humphreys seguido su tratamiento, pero Springer y otros más tarde utilizó una más elegante argumento basado en Serre relaciones, debido a Takeuchi. En cualquier caso, la idea clave aquí es que todo lo que sigue a partir de la clasificación $1$ $2$ relaciones, así como en la reflexión finita grupo $W$.)