Demostrando que $\int_0^1 f(x)e^{nx}\,{\rm d}x = 0$ % todo $n\in\mathbb{N}_0$implica $f(x) = 0$

Question

Estoy tratando de mostrar que si $f$ es una función continua en $[0,1]$ y $\int_0^{1} f(x)e^{nx}\,{\rm d}x = 0$ % todo $n = 0, 1, 2, \dots$, entonces el $f(x) = 0$.

Me gustaría utilizar el teorema de aproximación de Weierstrass para encontrar una secuencia de polinomios $p_m$ que convergen uniformemente en $f(x)$. Entonces podríamos decir $\lim\limits_{m\to \infty} \int p_m(x)e^{nx}\,{\rm d}x = \int f(x)e^{nx}\,{\rm d}x = 0$, pero estoy luchando para deducir que entonces todos los $p_m$ son cero que daría el resultado.

Answer 1

Hacer un cambio de variables $u = e^x$

$$\int_0^1 f(x) e^{nx}dx = \int_{1}^e g(u) u^{n}du = 0$$

donde $g(u) = \frac{f(\log(u))}{u}$ es una función continua. Ahora puede aplicar el teorema de aproximación de Weierstrass. Sostiene lo anterior para todos los $n$ tenemos

$$\int_{1}^e g(u) P(u)du = 0$$

para cualquier polinomio $P(u)$. Ahora escoja el polinomio para aproximar $g$ a dentro de una $\epsilon$ $[1,e]$ y luego tomar $\epsilon\to 0$ para obtener

$$\int_{1}^e g^2(u)du = 0$$

y sigue que $\frac{f(\log(u))}{u} = 0 \implies f\equiv 0$.