Entender los funtores adjuntos

Question

Para entender los funtores adjuntos he intentado ver un ejemplo. ¿Puede decirme si lo siguiente es correcto?

Antes de dar el ejemplo, me gustaría recapitular la definición: Dadas dos categorías $C,D$ y dos funtores $F: C \to D$ y $G: D \to C$ decimos que $F$ y $G$ son adyacentes si podemos dar una transformación isomorfismo $\eta$ tal que para cada par de objetos $A \in \text{Obj}(C)$ , $B \in \text{Obj}(D)$ y morfismos $f: A \to A^\prime$ en $C$ y $g: B \to B^\prime$ en $D$ el siguiente diagrama conmuta:

$$ \begin{matrix} \operatorname{Hom}(FA, B) & \xrightarrow{\eta_{AB}} & \operatorname{Hom}(A, GB) \\ \left\downarrow{\scriptstyle{\operatorname{Hom}(F(f), g)}}\vphantom{\int}\right. & & \left\downarrow{\scriptstyle{\operatorname{Hom}(f, G(g))}}\vphantom{\int}\right.\\ \operatorname{Hom}(FA^\prime, B^\prime)& \xrightarrow{\eta_{A^\prime B^\prime}} & \operatorname{Hom}(A^\prime, GB^\prime) \end{matrix} $$

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No estoy seguro de si $F$ es adjunto a la izquierda de $G$ o al revés. ¿Cuál es el adjunto izquierdo aquí?

And: is there a better way to display this diagram?

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Ahora el ejemplo: Afirmamos que $F = - \otimes_R M$ es el adjunto (¿izquierdo?) de $G = \operatorname{Hom}_R(M, -)$ donde $M$ es un $R$ -módulo. Para ver esto damos un isomorfismo natural $\eta_{A,B}$ (donde $A,B$ son $R$ -módulos y $C = D = R-\textbf{Mod}$ ) tal que el siguiente diagrama conmuta:

$$\begin{matrix}\textrm{Hom}(A \otimes M, B)&\xrightarrow{\eta_{AB}}&\operatorname{ Hom}(A, \operatorname{Hom}(M,B))\\ \left\downarrow{\scriptstyle{\textrm{Hom}(f \otimes id_M, g)}}\vphantom{\int}\right.&&\left\downarrow{\scriptstyle{\textrm{Hom}(f, G(g))}}\vphantom{\int}\right.\\ Hom(A' \otimes M, B')&\xrightarrow{\scriptstyle{\eta_{A'B'}}}&\textrm{ Hom}(A^\prime, \operatorname{Hom}(M,B'))\end{matrix}$$

Definimos $\eta_{AB}$ para ser el mapa $$\eta_{AB}: (f: a \otimes m \mapsto b) \mapsto (g: a \mapsto f(a \otimes -))$$

Entonces el diagrama anterior conmuta. ¿Es esto correcto?

¿Y el mapa de la flecha hacia abajo es realmente $\operatorname{Hom}(f \otimes id_M, g)$ ? No sabía qué más poner ahí. Y ¿he conseguido que la contigüidad izquierda/derecha sea la correcta?

Answer 1

Te diré cómo recuerdo si algo es un adjunto izquierdo o derecho. Espero que te sea útil.

Dejemos que $\mathcal{C},\mathcal{D}$ sean categorías, y que $F:\mathcal C \to \mathcal D$ , $G:\mathcal D \to \mathcal{C}$ sean funtores.

Por definición $F$ es conjunta a la izquierda con $G$ si hay isomorfismos naturales $$\overline{(\ )}:\mathcal{D}(FA, -) \to \mathcal{C}(A,G-)$$ $$ \overline{(\ )}:\mathcal{C}^{\mathrm op}(GB,-) \to \mathcal{D}^{\mathrm op}(B,F-) $$

para todos los objetos $A \in \text{ob}\mathcal C$ y $B \in \text{ob}\mathcal D$ de tal manera que son mutuamente inversos cuando se enchufa $B$ en la parte superior y $A$ en el fondo.

La forma de recordar que $F$ es un adjunto izquierdo es que en la primera transformación natural covariante agradable, $F$ está a la izquierda.

Así que su diagrama es simplemente el cuadrado de la naturalidad para la primera transformación: por lo tanto $F$ es el adjunto izquierdo en ese caso.

EDITAR MÁS DE UN AÑO DESPUÉS: Una forma más fácil de decir lo anterior es $F$ es conjunta a la izquierda con $G$ si existe un isomorfismo natural $$ \mathcal D( F-_1, -_2) \cong \mathcal C(-_1, G-_2) $$ de los funtores $\mathcal C^{\text{op}} \times \mathcal D \longrightarrow \mathsf{Set}$ .

Answer 2

Dados los funtores $F:\mathcal{D} \to \mathcal{C}$ y $G:\mathcal{D} \to \mathcal{C}$ con biyecciones naturales $\text{hom}_\mathcal{C}(F(X),Y) \to \text{hom}_\mathcal{D}(X,G(Y))$ decimos que $F$ es adjunto a la izquierda de $G$ . Así, el producto tensorial es adjunto a la izquierda del functor Hom. Supongo que esto tiene sentido naturalmente porque en las ecuaciones definitorias el funtor $F$ está a la izquierda y $G$ a la derecha.

En cuanto a la prueba, el mapa que has escrito es correcto, pero por supuesto hay que demostrar que todo funciona; es decir, que tu mapa $\eta_{ab}$ es un biyecto y que es natural (es decir, que el diagrama conmuta).

También es bastante habitual escribir $\text{Hom}_R(f \otimes \text{id}_M,g)$ como $(f \otimes \text{id}_M)^*$

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Editar : Véase el comentario de Bruno más abajo. Para un mapa $f:A \to A'$ y un fijo $B$ es normal escribir $(f \otimes \text{id}_M)^*$ . De lo contrario, $\text{Hom}_R(f \otimes \text{id}_M,g)$ parece ser lo correcto. (Tenga en cuenta que en su pregunta debe cambiar el $B$ en la esquina inferior izquierda del diagrama conmutativo a un $B$ ')