¿Qué es

Question

$\varphi$ es de Euler totient función. Mi pregunta es:

• Cuando/si $\varphi$ se define en $0$, lo que es definido generalmente como?

• Hay una "mayoría natural" o más comúnmente aceptada definición de $\varphi(0)$?

Este es un soft pregunta, porque es por supuesto una cuestión de convención.

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Aquí hay tres posibles definiciones, con alguna justificación.

Definición 1: $\boldsymbol{\varphi(0) = 2}$. Tenga en cuenta que para $n \ge 1$, $\varphi(n) = \left| \left( \mathbb{Z} / n \mathbb{Z} \right)^* \right|$, el número de unidades de mod $n$. Conectar $n = 0$, obtenemos $$\varphi(0) = \left| \left( \mathbb{Z} / 0 \mathbb{Z} \right)^* \right| = \left| \left( \mathbb{Z} \right)^* \right| = \left| \{-1, 1\} \right| = 2.$$

Definition 2: $\boldsymbol{\varphi(0) = 0}$. Si $a \mid b$,$\varphi(a) \mid \varphi(b)$. Para preservar esta propiedad para $b = 0$, tenemos que $\varphi(a) \mid \varphi(0)$ todos los $a$, lo que implica la $\varphi(0) = 0$.

WolframAlpha devuelve $\varphi(0) = 0$. Sin embargo, el Wolfram Matemáticas del Mundo página explica:

Por convención, $\phi(0)=1$, aunque el Wolfram Language define EulerPhi[0] igual 0 por coherencia con su FactorInteger[0] comando.

lo que nos da

Definición 3: $\boldsymbol{\varphi(0) = 1}$. ¿Alguien sabe el motivo de este convenio?

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Más observaciones

• La elección de la $\varphi(0)$ es consistente con la multiplicativity de $\varphi$.

• $\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n) \frac{d}{\varphi(d)}$ donde $d = \gcd(m,n)$, implica $\varphi(0) = 0$. Esto apoya la definición 2.

• Si $\varphi(n) = \sum_{ab = n} a \mu(b)$, a continuación, tenga en cuenta que cuando $ab = 0$, $a = 0$ o $b = 0$, y desde $\mu(0) = 0$, $a \mu(b) = 0$. Así que esto es $\sum 0 = 0$, de nuevo de acuerdo con la definición 2.

Answer 1

$\varphi(n)$ es el número de enteros positivos no mayores que $n$ que son coprimos a $n$.

No enteros positivos no hay más grande que $0$, por lo que por definición, si tuviéramos que definir $\varphi(0)$, querríamos igual $0$. Esto coincide con $$\varphi(n)=n\prod_{\text{prime} \ p\lvert n} \left(1-\frac{1}{p} \right),$$ where the product runs over all the primes, when $n = 0$. We may indeed note that we cannot deduce from this the infinitude of the primes, since in any finite case the product is smaller than $1$, and is thus nullified by $n = 0$.