Como se indica en el título. A primera vista creo que el enfoque puede construir una inyección de $A$ $\mathbb Q$, ya que obviamente $\mathbb Q$ es un conjunto que satisface tal condición. Sin embargo no tengo ni idea sobre cómo conseguir tal inyección. Se agradecería cualquier insinuación.
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Harsh
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88
Cada $x\in \mathbb{R}$, que $\delta_x$ tal que $(x-\delta_x,x+\delta_x)\cap A$ es contable. Conjunto de $B_x=(x-\delta_x,x+\delta_x)$. Ya que tenemos que $\mathbb{R}=\bigcup_{x\in \mathbb{R}}B_x$ $\mathbb{R}$ es separable, por este un subcover contable, es decir, hay una secuencia de puntos de $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ tal que $\mathbb{R}=\bigcup_{n=1}^\infty B_{x_n}$. ¿Puede concluir lo que quieres desde aquí?
Domingo
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471
Porque $[n,n+1]$ es compacto, una cubierta abierta $\cup_{x\in[n,n+1]}(x-\delta_x,x+\delta_x)$ tiene una cubierta sub finito. Es decir, existe un conjunto finito $B_n$ donde $[n,n+1] \subseteq \cup_{x \in B_n} (x-\delta_x, x+\delta_x)$. Tenemos $B = \cup_{n \in Z} B_n$ un sistema contable y por lo tanto $R = \cup_{n\in Z} [n, n+1] \subseteq \cup_{x \in B} (x-\delta_x, x+\delta_x)$. Por último, $A = A \cap R = \cup_{x \in B} A \cap (x-\delta_x, x+\delta_x)$ es una Unión contable de sistemas contables por Asunción. Por lo tanto es contable.
Un elemental argumento:Vamos a $$ S = \left\{ i \in \mathbb{R}^+ \; : \; (-r, r) \cap a \text{ es contable} \right\} $$
Claramente si $r \in S$$r_0 < r$,$r_0 \in S$. También, $S$ es no vacío, ya que podemos encontrar $\delta > 0$ tal que $(-\delta, \delta) \cap A$ es contable.
Nos gustaría mostrar $\sup S = \infty$, porque entonces vamos a tener $n \in S$ para todos los enteros positivos $n$, y $$ A = \bigcup_{n = 1}^\infty (-n, n) \cap a $$ será una contables de la unión de conjuntos contables, por lo tanto contables.
Supongamos que hacia contradicción $\sup S < \infty$. A continuación, vamos a $R = \sup S$, y encontrar $\delta_1$ $\delta_2$ tal que $(-R - \delta_1, -R+ \delta_1) \cap A$ $(R - \delta_2, R + \delta_2) \cap A$ son contables. Luego de observar que los $R - \delta_1, R - \delta_2 \in S$, lo que en realidad $(-R - \delta_1, R + \delta_2) \cap A$ es contable. Dejando $\delta = \min(\delta_1, \delta_2)$, se deduce que el $R + \delta \in S$, contradiciendo ese $R$ fue el supremum.
Alternativamente, usted puede demostrar que $S$ es abierto, cerrado y no vacío. Dado que la única clopen pone en $\mathbb{R}^+$ $\varnothing$ $\mathbb{R}^+$ sí, $S = \mathbb{R}^+$.
