Dada una presentación $$ \langle x, y, z: x ^ y = x ^ 2, y ^ z = y ^ 2, z ^ x = z ^ 2 \rangle, $$ $x^y$ Dónde está sólo la conjugación generalmente. ¿Podemos decir con certeza, si esta presentación define un grupo no trivial?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto es en realidad un "conocido" de la presentación de la trivial grupo. Yo creo que puede haber sido originalmente resultó trivial por Graham Higman, pero no estoy no seguro. Se puede hacer a mano, pero es IIRC un ejercicio desafiante para hacerlo!
Tenía la interesante característica de que puede ser utilizado para la construcción de una secuencia de más complicado presentaciones de la trivial grupo que la derrota coset la enumeración de los programas. Escribir la presentación como
$G_1 = \langle x,y,z \mid y^{-1}xyx^{-2} = z^{-1}yxy^{-2} = x^{-1}zxz^{-2}=1 \rangle$.
Ahora definir un nuevo grupo de $G_2$ con generadores $a,b,c$, donde las tres relaciones son derivados por sustitución de $x=b^{-1}aba^{-2}$, $y=c^{-1}bcb^{-2}$, $z=a^{-1}cac^{-2}$ en la presentación de $G_1$. Por lo $G_2$ tiene tres generadores y tres relaciones de cada uno de longitud $25$.
Desde $G_1$ es trivial, los elementos $b^{-1}aba^{-2}$, $c^{-1}bcb^{-2}$ y $a^{-1}cac^{-2}$ $G_2$ debe ser trivial, pero luego, utilizando la trivialidad de la $G_1$ nuevo, podemos deducir que $G_2$ es trivial. Pero creo que la BRECHA de lucha para demostrar que, dada la presentación de $G_2$.
Usted puede repetir este proceso de construcción para dar a los grupos de $G_n=1$ con tres generadores y tres relaciones, cada una de longitud $5^n$.
