Continuidad absoluta de la medida de Borel finita caracterizado por base Orthonormal

Question

He estado trabajando a través de los Fundamentos de la Estocástico de Filtrado (Bain, Crisan) y estoy un poco perplejo por el siguiente (en principio) aparentemente sencillo ejercicio y su solución dada.

Estamos ante una determinada finito medida de Borel $\mu$ $\mathbb{R}^d$ y deseamos determinar si es o no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. El ejercicio se propone el siguiente:

Deje $\{\varphi_i\} _{i>0}$ ser un ortonormales base de $L^2(\mathbb{R}^d$) con la propiedad de que $\varphi_i$ es continua y acotada para todos los $i$. Deje $\mu$ ser una medida finita. Si

$$\sum_{i=1}^\infty \, \mu(\varphi_i)^2 <\infty $$

a continuación, $\mu$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue. Por otra parte, si $g_\mu$ es la densidad de $\mu$ con respecto a la medida de Lebesgue, entonces $g_\mu \in L^2(\mathbb{R}^d)$.

La solución en el libro va de la siguiente manera: construimos una función de densidad, lo utilizan para definir una nueva medida (que, necesariamente, es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue) y, a continuación, mostrar que esta nueva medida es de hecho la misma que nos fue dado.

La definición de nuestra función de densidad de $\bar{g_\mu} = \sum_{i=1}^\infty \, \mu(\varphi_i) \varphi_i$, es fácil ver que esto es en $L^2$. La definición de $\bar{\mu}$ a ser de lo finito medida dado lugar a esta densidad, podemos ver que $\bar{\mu}(\varphi_i) = \mu(\varphi_i)$ para todo i. Todo bien, así que bueno. El problema es que muestra que nuestra base wavelet $\{\varphi_i\}_{i>0}$ es una separación de un conjunto de funciones con respecto a las medidas de Borel en $\mathbb{R^d}$, lo que demuestra que es $\bar{\mu} = \mu$. El libro dice simplemente:

[...] a través de una aproximación argumento de $\bar{\mu}(A) = \mu(A) $ para cualquier pelota de Una forma arbitraria de un centro y un radio. Por lo tanto $\bar{\mu} = \mu$.

El problema que tengo aquí es hacer esta aproximación argumento o similares de una obra. La más obvia idea es mostrar que $ \bar{\mu}(f) =\mu(f)$ para cualquier continuo delimitado función de $f$. Si nos aproximado ingenuamente $f$ $L^2$ por funciones en el lapso de nuestra base wavelet, esto también va a aproximar la mano izquierda ya que tenemos absoluta continuidad entre la medida de Lebesgue y $\bar{\mu}$. Sin embargo, el mismo no puede decirse a priori sobre el lado derecho.

Tomo nota de que la proposición supone la continuidad de las funciones wavelet, pero esto nunca fue explícitamente mencionado en la prueba. De hecho, la continuidad debe ser necesario aquí, porque es fácil construir un ejemplo contrario a esto, si las ondas están permitidos para ser discontinua (tome $\mu$ a ser Dirac medida en el origen, con cualquier base wavelet cuyas funciones de base son modificados a ser cero en el origen). Ser capaz de aproximarse a en $L^2$ solo está claro que no es lo suficientemente fuerte - necesitamos un poco de uniforme o de uniforme como de fuerza. Lamentablemente, a pesar de que yo no puedo pensar en ninguna propiedades específicas (tales como la luz formando un álgebra) de general wavelets que nos permitiría inferir de esto.

Mientras escribo esto, se me ocurre que por la forma en que este resultado se aplica en el libro, es suficiente para que se mantenga para una elección particular de la base. El uso de la finitud de $\mu$, lo que sería suficiente para exponer la existencia de una wavelet de forma tal que puedan de manera uniforme aproximada cualquier continua $f$ $\mathbb{R}^d$ (o en cualquier intervalo compacto/cubo). Supongo que podemos utilizar truncada trigonométricas funciones base (truncamiento en el sentido de dominio) - permitiendo la convergencia uniforme en $...,[-1,0],[0,1],[1,2],...$ simultáneamente (de manera similar para $\mathbb{R}^d$. Ahora las wavelets son sólo seccionalmente continua, pero esto probablemente no es un problema). Por el momento me va muy probable que vaya con este improvisado enfoque, así que espero no haber cometido algún error en mi razonamiento.

Para general continuo de ondas, es el original de la proposición es verdadera, me pregunto.

EDIT: resulta que mi anterior improvisado enfoque no va a funcionar para demostrar el resultado principal, ya que tengo la necesidad de wavelets para tener delimitada derivadas parciales de segundo orden.

Answer 1

Si solo me dio la respuesta en este post sería demasiado corto, je, je. Un poco de discusión de cómo llegué a la respuesta, posiblemente de interés:

Decidí que no tenía idea de cómo demostrarlo, si es cierto. No veo por qué debe ser cierto, que no prueba nada, ya que no tengo sentimiento por una arbitraria ortonormales conjunto. Por eso busco un contraejemplo.

Me di cuenta de que es cierto para las funciones de Haar. (Definir el uso de semi-abierta intervalos, de forma que agregar muy bien en cada punto). No es que la Elección de las funciones son continuas, pero ya que es cierto para las funciones de Haar suponemos que es cierto para mucho más general de wavelets. No es que yo soy el hombre para demostrar que.

Creo que es falso en general. Pero estoy atascado en dónde buscar un contraejemplo, ya que yo no conozco a ningún otro bases ortonormales. Si tan sólo tuviéramos un ortonormales base de funciones continuas que todos desaparecieron en algún momento...

Omg me hacer saber a otro ortonormales! Paráfrasis de algo Littlewood, dijo en algún lugar:

Littlewood, Si una serie de Fourier no funciona pruebe con un coseno de la serie o de una condición de la serie; el último, en particular, tienen muchas propiedades que no son compartidos por la general de las series de Fourier.

Contraejemplo En una dimensión: $n\ge1$ $j\in\Bbb Z$ definir $$\phi_{n,j}(t)=\sin(nt)\chi_{[j\pi,(j+1)\pi]}.$$Let $$\mu=\delta_0,$$a point mass at the origin. We leave it to the reader to verify that (i) $\int \phi_{n,j}\,d\mu=0$, (ii) $\sum0^2<\infty$, (iii) $\mu$ es singular. Je...

(En $\Bbb R^2$ uso de $\phi_{n,j}(t_1)\phi_{m,k}(t_2)$.)

Answer 2

Aquí es un complemento a David C. Ullrich del contraejemplo.

Teorema. Deje $\mu\in\mathcal{M}(\mathbb{R}^{d})$ ser finito medida de Borel. Si $\sum\left|\langle{\mu,\varphi_{j}}\rangle\right|^{2}<\infty$ para una completa base ortonormales para $L^{2}(\mathbb{R}^{d})$, de tal manera que $\text{span}\left\{\varphi_{j}\right\}$ es denso en $(C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{d}),\left\|\cdot\right\|_{L^{\infty}})$, $\mu$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue) con el cuadrado integrable densidad.

Suponiendo la existencia de una base por ahora, podemos demostrar el teorema.

Prueba. Deje $\left\{\varphi_{j}\right\}$ ser un base con el de la propiedad. Definir un elemento $g\in L^{2}(\mathbb{R})$ por $$g:=\sum_{j}\langle{\mu,\varphi_{j}}\rangle\varphi_{j}$$ y deje $\bar{\mu}$ ser la medida de Borel definido por $$\bar{\mu}(A)=\int_{A}g\mathrm{d}x, \quad\forall A\in\mathcal{B}(\mathbb{R}^{d})$$ Es evidente que $\bar{\mu}$ es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue y que $\langle{\bar{\mu},\varphi_{j}}\rangle=\langle{\mu,\varphi_{j}}\rangle$ todos los $j$.

Yo reclamo que $\langle{\bar{\mu},f}\rangle=\langle{\mu,f}\rangle$ cualquier $f\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^{d})$. Fijar un $f$, y deje $\epsilon>0$ ser dado. Deje $\psi=\sum_{k}a_{k}\varphi_{j_{k}}$ ser finito combinación lineal de la base de elementos que $\left\|f-\psi\right\|_{L^{\infty}}\leq\epsilon$. Desde $\mu$ $\bar{\mu}$ está de acuerdo en la $\varphi_{j}$, linealidad da $\mu(\psi)=\bar{\mu}(\psi)$. De dónde \begin{align*} \left|\int_{\mathbb{R}^{d}}f\mathrm{d}\mu(x)-\int_{\mathbb{R}^{d}}fg\mathrm{d}x\right|&\leq\epsilon\mu(\mathbb{R}^{d})+\int_{\text{supp}(f)}\left|f-\psi\right|\left|g\right|\mathrm{d}x\\ &\leq \epsilon\left(\mu(\mathbb{R}^{d})+\left|\text{supp}(f)\right|^{1/2}\left\|g\right\|_{L^{2}}\right) \end{align*} donde hacemos uso del Titular de la desigualdad para obtener la segunda estimación. Desde $\epsilon>0$ fue arbitraria, llegamos a la conclusión de la reclamación.

Yo reclamo que $\bar{\mu}(B)=\mu(B)$ para cualquier balón $B=B_{r}(c)\subset\mathbb{R}^{d}$. De hecho, fix$r>0$$c\in\mathbb{R}^{d}$, y deje $f_{\delta}\in C_{c}^{\infty}$ satisfacer $0\leq f_{\delta}\leq 1$, $\text{supp}(f_{\delta})\subset B_{r}(c)$ y $f_{\delta}=1$ en el cerrado de la bola de $\overline{B}_{r-\delta}(c)$. Entonces $$\left|\bar{\mu}(B)-\mu(B)\right|\leq\limsup_{\delta\rightarrow 0}\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|\chi_{B}-f_{\delta}\right|\left|g\right|\mathrm{d}x+\int_{\mathbb{R}^{d}}\left|\chi_{B}-f_{\delta}\right|\mathrm{d}\mu(x)=0$$ $\Box$

Lema. Existe una completa base ortonormales con la anterior propiedad.

Prueba. Deje $\psi$ ser suave, disminuyendo rápidamente wavelet, y vamos a $\psi_{jk}:=\psi(2^{j}\cdot-k)$ ($j,k\in\mathbb{Z}$), ser la base completa en $L^{2}(\mathbb{R})$ formado por $\psi$. Para $J\in\mathbb{Z}$, definir la proyección de $P_{J}$ por $$P_{J}f=\sum_{j\leq J}\sum_{k\in\mathbb{Z}}\langle{f,\psi_{jk}}\rangle\psi_{jk}, \quad a_{jk}:=\langle{f,\psi_{jk}}\rangle=2^{j/2}\int_{\mathbb{R}}f\overline{\psi}_{jk}$$ Para el resto de la prueba, asumimos $f\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$. Por parte del Titular de la desigualdad y de la traducción/dilatación de la invariancia, $$\left|a_{jk}\right|\leq 2^{j/2}\left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|\psi_{jk}\right\|_{L^{p'}}=2^{j/2-j/p'}\left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|\psi\right\|_{L^{p'}}=2^{-j/2+j/p}\left\|f\right\|_{L^{p}}\left\|\psi\right\|_{L^{p'}}$$ para todos los $1\leq p\leq\infty$. Para $j\geq 0$, tomamos $p<2$, y para $j<0$, tomamos $p>2$.

Para cualquier $j\in\mathbb{Z}$ fijo, la serie $$\sum_{k\in\mathbb{Z}}\left|\psi(2^{j}x-k)\right|$$ es $2^{-j}$-periódico. Así que para analizar su convergencia, es suficiente con considerar el $x\in[0,2^{-j}]$. Por la rápida disminución, por cualquier $N>0$ existe $C_{N}>0$ tal que $$\sum_{k}\left|\psi(2^{j}x-k)\right|\leq C_{N}\sum_{k}\dfrac{1}{1+\left|2^{j}x-k\right|^{N}}\lesssim C_{N}\sum_{k}\dfrac{1}{1+(\left|k\right|-\left|2^{j}x\right|)^{N}}\leq C_{N}\left(2+\sum_{k}\dfrac{1}{1+\left|k\right|^{N}}\right)<\infty$$ La combinación de estas estimaciones, vemos que la serie la definición de $P_{J}f$ converge absoluta y uniformemente en $\mathbb{R}$ y $P_{J}f\rightarrow f$ uniformemente $j\rightarrow\infty$. De ello se desprende que $f\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R})$ puede ser de manera uniforme aproximada por una combinación lineal finita de wavelet elementos. $\Box$