Razón para pensar en vector como "fila" y "columna" vectores en el álgebra lineal

Question

Considere la posibilidad de la $n$-tupla $(x_1,\ldots,x_n)$ con entradas en algún campo $K$.

¿Cuál es la razón para percibir esta tupla como un vector de fila, $$ [x_1,\ldots,x_n]$$or as a column vector $$\left[\begin{array}{c}x_1\\\vdots\\x_n\end{array}\right]$$?

Para aclarar aún más: Todas las respuestas en este sitio, que me miró, como este, este o este acuerdo con la pregunta, de que los objetos deben ser pensado como una fila respectivamente vectores columna, se opuso a que es lo que estoy preguntando: ¿Cuál es la razón para hacer esta distinción en el primer lugar ?

Porque la cosa es, yo podría definir la multiplicación de la matriz, como esta $$ \left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array}\right](x_1,x_2):=(ax_1+bx_2,cx_1+dx_2), $$así que lo único que necesitamos para lidiar con "tupla-vectores", no de fila o columna de vectores; no hay necesidad de hablar acerca de la fila o de la columna de vectores. Así que la cosa es, que todo lo relacionado con coordenadas podría ser hecho, en el caso de los vectores, en la fila o de la columna de términos. Por lo que si es posible, ¿por qué nadie haciendo como que ?

La única ventaja que veo de hacer la fila-columna distinción - en contraste con el uso de tuplas $(x_1,\ldots,x_n)$ que no son ni "fila" ni "en la columna"tipo - se puede obtener en un nivel de anotación, de modo que es más fácil de recordar, por ejemplo, cómo hacer de la matriz-vector de la multiplicación, por "mover" a lo largo de las filas de la matriz, mientras que "mueve" a lo largo de la columna del vector.
Pero eso parece poca razón, a que ponga para arriba con la distinción entre "fila" y "columna"-vectores todo el tiempo. Espero que haya algo más profundo que eso.

Answer 1

Si usted acaba de tener una tupla de números, entonces, como usted dijo, no hay ninguna diferencia entre la columna y la fila. Sin embargo, si usted quiere tener buen álgebra de matrices tiene que distinguir entre los dos.

La razón por la agradable álgebra de matrices que existe es el hecho de que cualquiera $n \times m$ matriz puede ser entendido como una forma lineal mapa de$K^n$$K^m$. En este formalismo vector columna es un mapa de $K$ $K^n$es decir, un vector sino un vector fila es un mapa de $K^n$ $K$es decir, una funcional.

Si se define la multiplicación como hizo usted va a perder la asociatividad, y lo que es malo.

Answer 2

En primer lugar, hay generalmente no hizo ninguna diferencia formal entre los dos puntos de vista: sólo hay una notación $K^n$ por el espacio de $n$-tuplas de escalares, no separadas para las tuplas escrito en vertical o en horizontal (o tal vez en otras formas).

Sin embargo, una vez que uno utiliza matrices para representar lineal mapas, uno tiene que tomar la decisión de si se debe organizar de manera que las coordenadas (a la llegada) de las imágenes de los vectores de la fuente de base utilizados son dadas por sus columnas o por filas. La convención más común es tener las imágenes corresponden a las columnas de la matriz, pero algunos autores (en mi experiencia, sobre todo aquellos que no se basan en gran medida en los cálculos de matriz en el primer lugar) utilizar la convención para utilizar las filas de la matriz. Suponiendo que las columnas se utilizan, el efecto de un lineal mapa en las coordenadas de los vectores de la opera, es dada por la izquierda-multpication por la matriz de la aplicación lineal mapa, y que la operación requiere que las coordenadas del vector actuado a ser escrito como un vector columna de la matriz producto. Así que de $A$ es la matriz, con respecto a elegido bases, de un lineal mapa de $f:V\to W$, e $v\in V$ tiene coordenadas $(v_1,\ldots,v_n)$ en la elección de la base de $V$, entonces las coordenadas de $f(v)$ en la opción de base de$~W$ son los componentes del producto $$ A \cdot \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\\vdots\\v_n\end{pmatrix}. $$ Si se hubiera escrito las coordenadas de un vector fila, entonces la única manera de multiplicar por una matriz es hacerlo en el derecho (y por la transpuesta de a $A$ si no es cuadrada), pero que simplemente no le da el derecho de las coordenadas de $f(v)$. Así que la escritura vectores columna es realmente sólo una forma fácil de recordar lo que la convención fue usado para representar lineal de mapas de matrices.

A pesar de que en casi todos los puntos donde se hace una elección, hay algunos autores que elegir la convención opuesta (y esto también se aplica a la cuestión de si la fila o la columna de índice en una matriz a se escribe primero), creo que, afortunadamente, todo el mundo está de acuerdo sobre la regla para multiplicar matrices (tomando las filas de la izquierda multiplica por columnas de la derecha). La anterior se basa en la suposición de que este convenio es universal. El cambio de esa convención, sería una forma más segura de ser mal entendido por todo el mundo. Por otra parte, si uno podría definir la matriz de mutliplication en una manera consistente que lo que usted escribe en la pregunta, entonces, como user68061 observado usted suelta la asociatividad de la multiplicación, lo que significa que la multiplicación de la matriz ya no corresponde a (lineal) en función de la composición, y en el hecho de ser un completo inútil operación.