Debe cada isometría tienen asociado un Asesinato vector?

Question

Entiendo que los flujos de Matar a campos vectoriales son isometrías, y que uno de los parámetros de los grupos de isometrías tienen asociada una Matanza de vectores que genera, sino que son su Matanza vectores garantizado para darle todos los posibles isometrías del colector? Supongo que lo que estoy tratando de hacer es, hacer isometrías necesariamente vienen de la familia, o se puede tener "aislado" isometrías que no puede tener asociado un Asesinato campo vectorial?

Answer 1

El grupo de isometrías de un determinado conectado suave (semi) de Riemann múltiple es siempre una Mentira grupo. Sin embargo, una Mentira grupo puede incluir subgrupos discretos de isometrías que, de restricción de la identidad, no puede ser representado por una continua isometrías y por lo tanto no tienen la Matanza de los vectores asociados con ellos. (En realidad, sólo algunos de los elementos del componente conectado, incluyendo la identidad puede ser asociada a campos de muerte.)

Por ejemplo, refiriéndose a $\mathbb R^3$ equipado con la norma métrica, la Mentira grupo de isometrías es el semidirect producto de espacio de traducciones $\mathbb R^3$ y rotaciones $O(3)$ alrededor de un punto fijo. El segundo mencionado subgrupo de isometrías, $O(3)$, admite una discreta subgrupo: $\{I, -I\}$. La distribución espacial de la inversión de las $-I$ no puede ser asociada a un campo de muerte. Del mismo modo todas las simetrías en $-I(SO(3))$ no puede ser asociada con los campos de muerte.

Answer 2

Sí, usted puede tener "aislado" isometrías.

Considere la recta real $\mathbb R$ y la inversión de la asignación de $x\to -x$. Este isometría no surgen de matar a un vector porque no es "continuamente conectados a la identidad".