Estrictamente hablando, es cierto que $\zeta(-1)\ne1+2+3+\cdots$?

Question

Hay varios notorio pruebas de que $1+2+3+\cdots=\frac{-1}{12}.$

Algunos de los más accesibles las pruebas , básicamente, parece requerir el etiquetado de esta serie como $S=\sum_\límites{i=1}^ \infty i$ and playing around with it until you can say $12S=-1$.

Incluso en la Escuela secundaria, yo podría haber mirado y pensé "bien, ya que estamos tratando con infinitos y divergentes de la serie, esas manipulaciones de $S$ son no válidos, en primer lugar, por lo que es realmente justo reordenación de las mentiras". Es un poco como el error en esta prueba que $1=0$o $\forall x.(\text{false}\implies x)$, es un colapso de la lógica.

Mentes más grandes que la mía han demostrado que $\zeta(-1)=\frac{-1}{12}$ y yo no tengo ningún argumento con que, pero me disputa la afirmación de que $\zeta(-1)=S$.

Mi pensamiento aquí es que, a pesar de la continuación analítica de $\zeta$ está bien definido, que a continuación analítica no es la misma cosa como $\sum_\limits{i=1}^\infty i$.

Una vez que usted tiene

1. definidas $\zeta(s) =\sum_\limits{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}$ donde $\vert s\vert>1$
2. definidas $\zeta^\prime(s)=...$ por la continuación analítica para todos los $s$

a continuación, sólo se puede reclamar

3. $\zeta(s)=\zeta^\prime(s)$ donde $\vert s\vert>1$.

Básicamente, su agradable, diferenciable-en todas partes de la definición de la función Zeta es no substituable para la serie original $S$ en la restricción de dominio.

Por lo tanto, $\zeta(-1)=\frac{-1}{12}\nRightarrow S=\frac{-1}{12}$.

A la derecha? Convencerme de lo contrario.

Answer 1

Usted sólo tiene

$$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$$

para $\mathfrak R(s)>1$. El lado derecho de la ecuación no está definido de otra manera.

Como usted dijo, $\zeta(s)$ es definido por la continuación analítica en el resto de los números complejos, por lo que la fórmula $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ no es válido en $\mathbb C \setminus \{z\in \mathbb C, \mathfrak R(z)>1\}$.

Por lo tanto,

$$\frac{-1}{12}=\zeta(-1)\ne \sum_{n=1}^\infty n \quad\text{(which $=+\infty$ in the best case scenario)}.$$

Así que lo que dices es correcto.

Answer 2

Como todo el mundo ha dicho, la respuesta a tu pregunta es sí. Sin embargo, me gustaría hacer el siguiente punto:

Si, de alguna manera, puedo establecer una forma diferente (pero todavía analítica) de la de Riemann zeta función mediante la manipulación de $\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty n^{-s}$ en algo más que pasa a tener sentido para los nuevos valores de $s$, luego por la continuación analítica, podemos definir la función original para convertirse en el nuevo uno, a pesar de que la forma original, pero aún así no tienen sentido para los nuevos valores de $s$.

De esta manera, algunas de las extrañas manipulaciones ves hecho con la divergencia de la serie puede ser hecho correcto, ya que para mantener los valores originales de $s$ que tenía sentido. Aunque es cierto que la mayoría de las manipulaciones claramente no.