Auto-mapas del conjunto de Cantor

Question

Deje $X$ $Y$ ser homeomórficos para el conjunto de Cantor y recoger $x_0\in X$.

Supongamos $f\colon X\to Y$ es una función continua tal que $f\upharpoonright X\setminus\{x_0\}$ es inyectiva. Debe $f$ ser inyectiva? Bien, $X$ es desconectado por lo que no podemos aplicar la propiedad de Darboux directamente.

Answer 1

Es posible tener un no inyectiva $f$. Deje $C$ ser el medio tercios conjunto de Cantor, y vamos a

$$f:C\to[0,1]:x\mapsto\begin{cases} \frac32x,&\text{if }0\le x\le\frac13\\\\ \frac32x-\frac12,&\text{if }\frac23\le x\le 1\;. \end{casos}$$

Deje $Y=f[C]$; a continuación, $Y$ es un conjunto de Cantor, $f$ es inyectiva en a $C\setminus\left\{\frac13\right\}$, e $f\left(\frac23\right)=f\left(\frac13\right)=\frac12$.

Intuitivamente, simplemente se extiende $C\cap\left[0,\frac13\right]$ $C\cap\left[\frac23,1\right]$ uno hacia el otro para satisfacer a $\frac12$.