Prueba de verificación de $\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$

Question

Propongo aquí mi prueba:

$$\mathcal{P}(A) \cap \mathcal{P}(B) = \mathcal{P}(A \cap B)$$

$\Longrightarrow$ $$x \in \mathcal{P}(A) \land x \in\mathcal{P}(B)$$ $$x \subseteq A \land x \subseteq B$$ $$x \subseteq A \cap B$$ $$x \in \mathcal{P}(A \cap B)$$

$\Longleftarrow$ $$x \in \mathcal{P}(A \cap B)$$ $$x \subseteq A \cap B$$ $$x \subseteq A \land x \subseteq B$$ $$x \in \mathcal{P}(A) \land x \in \mathcal{P}(B)$$

Es correcto?

Answer 1

_{(Sólo para añadir una respuesta a marcar esta pregunta como respondida.)}

Claramente $\mathcal{P}$ significa "juego de poder".

Y que se está aplicando la definición de conjunto de la igualdad, que es $A=B\iff\forall x \in A, x \in B \land \forall x \in B, x \in A$.

Sí, está bien.

Answer 2

$\mathcal{P}(A\cap B)$ es el conjunto de todos y sólo los conjuntos que son al mismo tiempo los subconjuntos de a$A$$B$. Pero, por definición, estos son exactamente los elementos de $\mathcal{P}(A)\cap\mathcal{P}(B)$.