¿Alguna pista para este problema de la teoría de la medida de Halmos?

Question

Estaba leyendo el libro de Halmos "Teoría de la Medida" y me quedé atascada con éste. ¿Alguien podría darme una pista?

Deje que $A \in\mathbb {R}$ ser un conjunto medible de Lebesgue y $D$ un denso subconjunto de $A$ . Si $ \mu (A\, \triangle\ , A+d) = 0\;\; \forall d \in D$ donde $ \triangle $ denota una diferencia simétrica y $A+d$ es el conjunto resultante de sumar $d$ a cada uno $a \in A$ , debe ser que $ \mu (A) = 0$ o $ \mu (A^c) = 0$ .

He tratado de pensar en A como un intervalo abierto y luego usando las propiedades de la medida Lebesgue, también traté de aplicar el Teorema de Densidad Lebesgue, sin éxito.

Answer 1

Supongamos que ambos $A$ y $A^c$ tienen una medida positiva. Elija $x, y$ y $r > 0$ de tal manera que $A$ y $A^c$ tienen $99$ % medida en $(x - r, x + r)$ y $(y - r, y + r)$ respectivamente. Elija $d \in D$ de tal manera que $|x + d - y| < r/100$ . Ahora se ve fácilmente que $(A + d) \backslash A$ tiene una medida positiva.

Answer 2

Todas las inclusiones son modulo nulo. Si $ \mu (A) > 0$ y $D = \{d : A + d = A\}$ . Entonces.., $D$ es un subgrupo aditivo cerrado de reales, por lo que si es apropiado debe ser discreto y por lo tanto no puede ser denso en $A$ .