Es $\Bbb R^2 -\Bbb Q^2$ conectado?

Question

Tengo que probar si o no $X=\Bbb R^2 -\Bbb Q^2$ está conectado. La definición de la conexión que estoy usando es un espacio X es conectado si no es la unión de dos disjuntos no vacíos abrir sets. Este es un concepto nuevo para mí, así que no estoy exactamente seguro de cómo configurarlo. Creo que vamos a demostrar por contradicción, pero no sé por dónde empezar.

Answer 1

Tomar dos puntos de $x,y \in X$. Desde $\Bbb{Q}^2$ es contable y el número de líneas que van a través de $x$ es incontable (en bijection con $[0,\pi)$), hay una cantidad no numerable de las líneas que van a través de $x$ y el contenido en $X$. Lo mismo se aplica a $y$. Por lo tanto, usted puede encontrar las líneas que van a través de $x$ $y$ respectivly que no son parralel, y por lo tanto se cruzan el uno al otro. Esto demuestra que $X$ está conectado.

Answer 2

Fijar dos puntos de $(x,y), (u,v) \in A:= \mathbb{R}^2\setminus \mathbb{Q}^2$.

Supongamos $x, v\notin \mathbb{Q}$, a continuación, las líneas de unirse a $(x,y)\to (x,v)$ $(x,y) \to (u,v)$ están en $A$.

Algo similar sucede si $y,u \notin \mathbb{Q}$.

Si $x,u\notin \mathbb{Q}$, a continuación, asumir WLOG que $v<y, u<x$ y elija $z \in (v,y)\setminus \mathbb{Q}$$w\in (u,x)\setminus \mathbb{Q}$. Así las líneas de $(x,y) \to (z,w), (z,w) \to (u,w)$ $(u,w) \to (u,v)$ son todos en $A$.

Del mismo modo, si $y,v\notin \mathbb{Q}$. Por lo tanto $A$ es la ruta de acceso conectado, y tan conectado.