Cómo probar la Milner-Rado Paradoja?

Question

Para cada ordinal $\alpha<\kappa^+$ hay conjuntos $X_n\subset\alpha$ $(n\in\Bbb{N})$ tal que $\alpha=\bigcup_n X_n$, y para cada una de las $n$ el orden de tipo de $X_n$$\le\kappa^n$.

[Por inducción en $\alpha$, la elección de una secuencia de cofinal en $\alpha$.]

Traté de demostrar este problema mediante la inducción transfinita.

Para $\alpha=0$, esta afirmación no es trivial.

Si $\alpha$ ha conjuntos de $X_n\subset \alpha$ satisface $\alpha=\bigcup_n X_n$, $\text{order-type of }X_n\le\kappa^n$, definimos $X'_0=\{\alpha\}$, $X_{n+1}'=X_n$. A continuación, $\{X_n'\}$ satisface $\bigcup_n X_n'=\alpha+1$, $\text{order-type of }X'_n \le \kappa^n$.

Pero no sé cómo continuar la prueba. Gracias por la ayuda.

Answer 1

[Edit: voy a añadir algunos comentarios explicando por qué esto se llama una "paradoja".]

No es una paradoja, en el sentido tradicional de la palabra, no hay incoherencias aquí. Más bien, el resultado es (tal vez ingenuamente) visto como contra-intuitivo. Hay dos razones: en Primer lugar, si $\alpha=\bigcup_{n<\omega}A_n$, y el $A_n$ son intervalos, $A_n=[\alpha_n,\alpha_{n+1})$, donde el $\alpha_i$ están aumentando, y el tipo de orden de $A_n$ es en la mayoría de las $\kappa^n$ todos los $n$,$\alpha\le\kappa^\omega$. Esto significa que el obvio intento de descomponer un ordinal como ha solicitado a fallar tan pronto como el ordinal es lo suficientemente grande.

De ello se desprende que la descomposición debe ser algo sucio, por ejemplo, podemos ver $i< j$, de tal manera que los ordinales en $A_j$ son más pequeños que los ordinales en $A_i$, o podemos ver $i\ne j$ tal, que hay puntos en $A_i$ entre los puntos en $A_j$, y viceversa. Pero entonces llegamos a la segunda razón por la cual el resultado puede parecer contra-intuitivo: En

G. H. Toulmin. Arrastrando los pies ordinales y transfinito de dimensiones, Proc. Londres Matemáticas. Soc. (3), 4, (1954), 177-195. MR0065907 (16,502 a),

está demostrado que si $A,B$ son conjuntos de los números ordinales de tipos de orden de $\alpha$$\beta$, entonces no hay un límite superior en el tipo de orden de $A\cup B$ que sólo depende de $\alpha,\beta$.

(Es decir, escribir $\alpha$ $\beta$ como una disminución de la suma de indecomposable ordinales, $\alpha=\sum_{i<k} \gamma_i n_i$$\beta=\sum_{i<k} \gamma_i m_i$, donde el $\gamma_i$ son indecomposable, $\gamma_0>\dots>\gamma_{k-1}$, y el $n_i,m_i$ son números naturales. A continuación, $A\cup B$ tiene el tipo en la mayoría de las $\sum_{i<k}\gamma_i(n_i+m_i)$. De hecho, Toulmin demostrado que hay sólo un número finito de posibles tipos de órdenes para $A\cup B$, todos se pueden expresar en términos de la $\gamma_i,n_i,m_i$.)

Esto significa que el hecho de que podemos escribir los números ordinales mucho más grande de lo $\kappa^\omega$ como la unión de conjuntos $A_n$ ($n<\omega$) con cada una de las $A_n$ de tipo en la mayoría de las $\kappa^n$, no puede ser "visto" o de lo previsto teniendo en cuenta solamente un número finito de la $A_n$, por lo que puede parecer sorprendente. (Por supuesto, este es sólo un ejemplo de las muchas maneras en que nuestras intuiciones acerca de lo finito de resultar insuficiente cuando se trata con el infinito.)

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Ahora vamos a proceder a la prueba.

Esto proviene de una serie de notas en el que estoy trabajando. Una versión preliminar de la tesis a continuación puede encontrar aquí. Una prueba de cierre a este tema puede encontrarse en el documento de Hajnal y Larson en el Manual de la teoría de conjuntos. El resultado proviene de

Eric C. Milner, y Richard Rado. El pigeon-hole principio de los números ordinales, Actas de la Sociedad Matemática de Londres (3), 15, (1968), 750-768, 1965.

Primer aviso de que el resultado es claro si $\kappa=\omega$, ya que podemos escribir cualquier $\alpha<\omega_1$ como contables de la unión de los embarazos únicos (y un conjunto vacío). Así que podemos suponer que la $\kappa$ es incontable. Todos poderes en lo que sigue son en el sentido de ordinal de exponenciación.

Observe que $|\kappa^{\rho}|=\kappa$ cualquier $\rho<\kappa^+$, como se puede comprobar fácilmente por inducción.

Observe también que la función de $\alpha\mapsto\omega^{ \alpha}$ es normal (es decir, estrictamente creciente y continua). Por lo anterior, se deduce que el $\omega^{\lambda}=\lambda$ para todos los innumerables cardenales $\lambda$. En particular, es suficiente para demostrar el resultado para ordinales $\alpha$ que es un ordinal poder de $\kappa$, ya que estos ordinales son cofinal en $\kappa^+$, y una representación de como se desee para un ordinal da (por restricción) una representación para cualquier menor ordinal.

Por lo anterior, $\kappa^{\rho}=\omega^{\kappa\cdot\rho}$ cualquier $\rho$. Desde $\omega^\delta$ es indecomposable, si $\alpha<\omega^{\delta}$, entonces el intervalo de $[\alpha,\omega^{\delta})$ es de orden isomorfo a $\omega^{\delta}.$

Para cualquier $\alpha<\kappa^+$, podemos escribir $\kappa^{\alpha+1}=\bigcup_{\nu<\kappa}A_\nu$, donde $A_ \nu=[\kappa^{ \alpha}\cdot\nu,\kappa^{\alpha}\cdot(\nu+1))$ so it has order type $\kappa^{\alpha}$.

También, si $\alpha$ es un ordinal límite por debajo de $\kappa^+$, entonces podemos escribir $\alpha=\sup_{\nu<\mathrm{cf}(\alpha)}\beta_\nu$ para algunos estrictamente creciente secuencia continua $(\beta_\nu\mid\nu<\mbox{cf} (\alpha))$ cofinal in $\alpha$. Let $A_0=\kappa^{\beta_1}$ and $A_\nu=[\kappa^{\beta_\nu}, \kappa^{\beta_{\nu+1}})$ for $0<\nu<\mbox{cf}(\alpha)$. Then $\kappa^{\alpha}=\bigcup_\nu A_\nu$ y cada una de las $A_\nu$ es de orden tipo de $\kappa^{\beta_{\nu+1}}$.

Que la secuencia de $\beta_\nu$ es continua (con límites), asegura que el $A_\nu$ portada $\kappa^{ \alpha}$. Que han reclamado tipo de orden que se sigue de indecomposability.

Por eso hemos escrito cada una de las $\kappa^{\rho}$ como un aumento de la unión de $\sigma$ muchos intervalos de cuyo el fin de los tipos ordinales poderes de $\kappa$ (menor que $\kappa^\rho$), y $\sigma$ es $\kappa$ o $\mbox{cf}(\rho)$. Ahora procederemos por inducción. Podemos suponer que cada uno de los ordinales a continuación $\kappa^{\rho}$ puede ser escrito como la reivindicada en la paradoja. En particular, cada una de las $A_\nu$, después de haber pedido tipo un ordinal menor que $\kappa^{\rho}$, se puede escribir de esa manera, decir $A_\nu=\bigcup_n A_{\nu,n}$ donde $\mbox{ot}(A_{\nu,n})<\kappa^{ n}$.

Si $\sigma=\omega$, esto nos da inmediatamente el resultado de $\kappa^{\rho}$: Tome $X_0=\emptyset$ y $X_{2^m(2n+1)}=A_{m,n}$. Claramente, su unión es $\kappa^{\rho}$ y tienen pequeños tipo de orden como necesario.

Si $\sigma>\omega$, tome $X_0=X_1=\emptyset$$X_{n+2}=\bigcup_\nu A_{\nu,n}$. Una vez más, su la unión es $\kappa^{\rho}$, e $\mbox{ot}(X_{n+2})$ es en la mayoría de los tipos de orden de concatenación $\kappa$ muchas copias de $\kappa^{ n}$ (es aquí que usamos ese $A_\nu<A_\mu$$\nu<\mu$), por lo que $\mbox{at} (X_{n+2})\le\kappa^{ n+1}$.

Answer 2

Deje $\alpha$ ser un ordinal límite, y para cada una de las $\beta < \alpha$, vamos a $(X^\beta _n)_n$ ser lo que es obvio. Arreglar un aumento de la secuencia de $(\beta_\gamma)_{\gamma < \mathrm{cf}(\alpha)}$ cofinal en $\alpha$$\beta_0 = 1$. Nota:$\mathrm{cf}(\alpha) \leq \kappa$. Definir:

$$X^\alpha _0 = \{0\};\ \ X^\alpha_{n+1} = \bigcup_\gamma X^{\beta_{\gamma+1}}_n\setminus \beta_\gamma$$

y eso es todo!

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Para ver que esto funciona, observa que:

$$\bigcup_{n>0}X^\alpha_n = \bigcup _n \bigcup _\gamma X^{\beta_{\gamma+1}}_n\setminus \beta_\gamma = \bigcup_\gamma \bigcup_n X^{\beta_{\gamma+1}}_n\setminus \beta_\gamma = \bigcup_\gamma \beta_{\gamma+1}\setminus \beta_\gamma = \alpha \setminus \beta_0$$

y por lo $\bigcup_nX^\alpha_n = \alpha$.

Como para los tipos de órdenes, claramente $\mathrm{ot}(X^\alpha_0) = 1 = \kappa^0$. Tomando nota de que los conjuntos de $\beta_{\gamma+1}\setminus\beta_\gamma$ forma de una secuencia consecutiva de ordinal, de intervalos, y que cada una de las $X^{\beta_{\gamma+1}}_n\setminus\beta_\gamma$ es un segmento cola de $X^{\beta_{\gamma+1}}_n$ tenemos que:

$$\mathrm{ot}(X^\alpha_{n+1}) = \sum_\gamma \mathrm{ot}(X^{\beta_{\gamma+1}}_n\setminus\beta_\gamma) \leq \sum_\gamma \kappa^n = \kappa^n \cdot \mathrm{cf}(\alpha) \leq \kappa^n\cdot\kappa = \kappa^{n+1}$$

Answer 3

$\newcommand{\cf}{\operatorname{cf}}$No hay ningún problema si $\alpha\le\kappa$, así que supongo que $\alpha$ es un límite ordinal tal que $\kappa<\alpha<\kappa^+$. Deje $\lambda=\cf\alpha$, y deje $\langle\alpha_\xi:\xi<\lambda\rangle$ será cada vez más una secuencia de cofinal en $\alpha$. Para cada una de las $\xi<\lambda$ deje $\{X_n^\xi:n\in\omega\}$ ser un Milnor-Rado de la descomposición de $\alpha_\xi$, y deje $\{X_n^\lambda:n\in\omega\}$ ser una descomposición de la $\lambda$.

Para $n\in\omega$ vamos

$$X_{2n}=\bigcup_{\eta\in X_n^\lambda}\left(X_n^\eta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_\xi\right)\;;$$

el tipo de orden de cada conjunto

$$X_n^\eta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_\xi$$

es claramente en la mayoría de $X_n^\eta$, que por hipótesis es que en la mayoría de $\kappa^n$. Por otra parte, si $\eta<\theta$,

$$\beta\in X_n^\eta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_\xi\;,\quad\text{and}\quad\gamma\in X_n^\theta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\theta}\alpha_\xi\;,$$

a continuación,$\beta<\delta$. O en breve,

$$X_n^\eta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_\xi<X_n^\theta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\theta}\alpha_\xi\;.$$

Dado que el tipo de orden de $X_n^\lambda$ es en la mayoría de las $\kappa^n$, $X_{2n}$ es en la mayoría de las $\kappa^n\cdot\kappa^n=\kappa^{2n}$. Deje $X_{2n+1}=\varnothing$, cuyo tipo de orden es, sin duda no más de $\kappa^{2n+1}$. Sólo queda demostrar que $\alpha=\bigcup_{n\in\omega}X_n$.

Si $\beta<\alpha$, vamos a $\eta<\lambda$ ser mínima tal que $\beta<\alpha_\eta$. A continuación,$\beta\in\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_xi$, e $\alpha_\eta=\bigcup_{n\in\omega}X_n^\eta$, por lo que

$$\beta\in X_n^\eta\cap\alpha_\eta\setminus\bigcup_{\xi<\eta}\alpha_\xi\subseteq X_{2n}$$

para algunos $n\in\omega$.