Demostrar que $\det(A^2 + A + xI) = x$

Question

Deje $x$ ser un número real positivo y $A$ $2\times2$ matriz con los valores reales que satisface la siguiente propiedad $\det(A^2 + xI) = 0$. Demostrar que $\det(A^2 + A + xI) = x$

He intentado algo con polinomio característico y los valores propios, pero no funcionó. Me puedes dar una pista para resolver este problema?

Answer 1

Tenga en cuenta que $$ \det(A^2 + xI) = \det(A + i\sqrt x I)\det(a - i\sqrt x I) $$ Desde $A$ es real, su compleja autovalores vienen en el conjugado de a pares. Por lo tanto, en este caso llegamos a la conclusión de que $A$ tiene los autovalores $\pm i \sqrt x$.

Ahora, si $\lambda$ es un autovalor de a$A$, $\lambda^2 + \lambda + x$ es un autovalor de a $A^2 + A + xI$. Por lo tanto, la matriz de $A^2 + A + xI$ tiene los autovalores $$ (i\sqrt x)^2 + \sqrt x + x = i\sqrt x, \\ (-i\sqrt x)^2 - i\sqrt x + x = -i\sqrt x $$ Ahora, $\det(A^2 + A + xI)$ es el producto de estos valores propios, produciendo $x$, como se desee.

Como alternativa: después de encontrar los autovalores de a $A$, deducir que $A^2 + xI = 0$ (por Cayley-Hamilton), por lo que $$ \det(A^2 + A + xI) = \det(0 + A) = \det(A) = (i\sqrt x)(-i\sqrt x) $$

Answer 2

Deje $\lambda_{1,2}$ ser los autovalores de a $A$. A continuación, $\lambda_{1,2}^2$ son los autovalores de a $A^2$, y, por tanto, $-\lambda_{1,2}^2$ son los autovalores de a $-A^2$

Como $\det(xI-(-A^2))=0$, se deduce que el $x$ es un autovalor de a $-A^2$.

Por lo tanto, $x=-\lambda_j^2$ $j=1$ o $j=2$. Sin pérdida de generalidad $x=-\lambda_1^2$. Esto implica que $\lambda_1$ es puramente complejo, y como $A$ es una verdadera matriz, $\lambda_2$ es el conjugado de a $\lambda_1$. De $x=-\lambda_1^2$ llegar $$\lambda_{1,2} = \pm i \sqrt{x}$$

Esto implica que los autovalores de a$A^2+A+xI$$ -x \pm i \sqrt{x} +x = \pm i \sqrt{x}$. El determinante de la conclusión de la siguiente manera.

Answer 3

Permítanme tratar de hacer esto sin mencionar los números complejos o de las raíces cuadradas.

Dado que el $\det(A^2 + xI) = 0$, debe haber algún vector distinto de cero $v\in\ker(A^2+xI)$. No puede ser un vector propio, como su autovalor, luego, tendría que ser una verdadera raíz de la $X^2+x$ que no existe (desde $x>0$); por lo tanto, $v$ $Av$ son linealmente independientes. Ahora $\ker(A^2+xI)$ $A$- estable, por lo que con $v$ también contiene $Av$, de donde $\ker(A^2+xI)=\Bbb R^2$. A continuación, $X^2+x$ es el polinomio mínimo de a$~A$. También el hecho de que $A^2+xI=0$ significa que la expresión de $A^2+A+xI$ se reduce a$~A$.

Dado su grado, $X^2+x$ también debe ser el polinomio característico de a$~A$; en particular, a su término constante es $x=\det(-A)=\det(A)$. También se obtiene que el $0=\operatorname{tr}(A)$, a pesar de que no pidió.