Así que, aquí está un pequeño y agradable resultado que deduje usando el teorema del gráfico cerrado del análisis funcional, pero me pregunto si hay un enfoque más elemental:
Es un hecho: Dejemos que $(a_n)$ sea una secuencia con $a_n > 0$ y $a_n \to \infty$ . Entonces existe una secuencia $(x_n)$ con $\sum |x_n| < \infty$ para lo cual $\sum_{n=1}^\infty a_n x_n$ diverge.
Estoy pensando que puede haber una secuencia relativamente fácil de construir $x_n$ aquí, pero a mí no se me ocurre ninguna. La razón por la que sé que esto debe mantenerse es que el mapa $(x_n) \mapsto (a_n x_n)$ es un operador no limitado de $\ell^1$ a $\ell^\infty$ con una inversa continua definida sobre la imagen, pero esto no me proporciona ninguna intuición sobre cómo un $(x_n)$ debe construirse.
