¿Qué significa el símbolo del doble torniquete ( $\models$ )?

Question

¿Cuál es el significado del símbolo del doble torniquete en lógica o notación matemática? :

$\models$

Answer 1

Sólo para ampliar la respuesta de Harry:

Su símbolo denota una de las dos nociones específicas de implicación en la lógica formal

$\vdash$ -el torniquete símbolo denota sintáctico implicación (sintáctico significa aquí relacionado con la sintaxis, la estructura de una oración), donde el "álgebra" del sistema lógico en juego (por ejemplo cálculo sentencial ) nos permite "reordenar y cancelar" lo que sabemos a la izquierda en lo que queremos demostrar a la derecha.

Un ejemplo podría ser el clásico "todos los hombres son mortales $\wedge$ Sócrates es un hombre $\vdash$ Sócrates es mortal" (' $\wedge$ Por supuesto, aquí sólo significa "y"). Casi se puede imaginar que se anula el "bit de hombre" de la izquierda para dar sólo la frase de la derecha (aunque la verdad puede ser más compleja...).

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$\models$ -el doble torniquete por otro lado, no se trata tanto del álgebra como del significado (formalmente denota semántica implicación)- significa que cualquier interpretación de la cosa que conocemos a la izquierda debe tener la correspondiente interpretación de la cosa que queremos demostrar a la derecha verdadera.

Un ejemplo sería si tuviéramos un conjunto infinito de frases: $\Gamma$ := {"1 es bonito", "2 es bonito", ...} en la que aparecen todos los números, y la frase A= "los números naturales son precisamente {1,2,...}" enumerando todos los números. Cualquier interpretación nos daría B="todos los números naturales son encantadores". Así que $\Gamma$ , A $\models$ B.

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Ahora bien, el objetivo de cualquier lógico que intente establecer un sistema formal es tener $\Gamma \vdash A \iff \Gamma \models A$ Ello significa que el "álgebra" debe coincidir con la interpretación, y esto no es algo que podamos dar por sentado. Tomemos el segundo ejemplo anterior: ¿podemos estar seguros de que las operaciones algebraicas pueden "analizar" esas infinitas oraciones y hacer la oración simple de la derecha? (esto tiene que ver con una propiedad llamada compacidad )

El objetivo puede dividirse en dos subobjetivos distintos:

Solidez: $A \vdash B \Rightarrow A \models B$

La integridad: $A \models B \Rightarrow A \vdash B$

La primera te impide demostrar cosas que no son ciertas cuando las interpretamos y la segunda significa que todo lo que sabemos que es cierto por la interpretación, debemos poder demostrarlo.

El cálculo sentencial, por ejemplo, puede demostrarse completo (y lo fue en el menos conocido, pero célebre teorema de completitud de Godel), pero otros para otros sistemas el teorema de incompletitud de Godel, nos dan una terrible opción entre los dos.

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En resumen: La interacción entre el significado y la matemática axiomática de las máquinas, captada por la diferencia entre $\models$ y $\vdash$ es algo sutil e interesante.

Answer 2

$\models$ también se conoce como relación de satisfacción . Para una estructura $\mathcal{M}=(M,I)$ y un $\mathcal{M}$ -Asignación $\nu$ , $(\mathcal{M},\nu)\models \varphi$ significa que la fórmula $\varphi$ es cierto con la asignación particular $\nu$ .
Ver http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/struct/node2.html

Answer 3

Es un símbolo de la teoría de modelos que denota vinculación .

A B se lee como "A conlleva B".

Answer 4

Se llama "doble torniquete": http://en.wikipedia.org/wiki/Double_turnstile .