Qué Proporción de Independientes de las Distribuciones da una Distribución Normal?

Question

La relación de dos distribuciones normales independientes dar una distribución de Cauchy. La distribución t es una distribución normal y se divide por un independiente de la distribución chi-squared. La relación de dos independientes de la distribución chi-squared da un F-distribución.

Estoy buscando una relación de continuas independientes con distribuciones que se le da a una variable aleatoria normalmente distribuida con una media de $\mu$ y la varianza $\sigma^2$?

Probablemente hay un conjunto infinito de posibles respuestas. Me puedes dar algunas de estas posibles respuestas? Yo particularmente agradezco si las dos distribuciones que proporción se calcula son iguales o al menos similares varianza.

Answer 1

Me imagino que hay muchas posibilidades. Aquí hay uno que se me ocurre. Es conocido (Zolotarev) que, dado $X_1^G,X_2^G$ dos normal estándar distribuido r.v., y $X^C_{\gamma}$ una de Cauchy distribuido r.v. $$ \frac{X_1^G}{X_2^G} = X^C_{\gamma} $$

Luego, por la Dualidad de la distribución Estable, sabemos que $X^C_{\gamma}\sim1/X^C_{1/\gamma}$ (donde $\gamma$ es el parámetro de escala de la de Cauchy). Así se obtiene que la distribución Normal puede ser el resultado de una relación entre una Normal y una de Cauchy: $$ X_1^G= X_2^G/X^C_{1/\gamma} $$

para el que desee $\mu$ me acaba de pasar ambas distribuciones estar centrado allí. (en $\mu$). Para el $\sigma$, en la mencionada página de la wikipedia sobre la relación de las distribuciones, hay fórmulas generales para el cociente de dos distribuciones normales, solo que deba reemplazar el factor de escala de la de Cauchy por su valor inverso ($\gamma\rightarrow1/\gamma$).