La lógica es la siguiente:
- Hasta el momento, no hay sentido a la secuencia de símbolos $\sum_{n=1}^\infty a_n$, dado que los valores de $a_n$, si la suma no converge en el sentido clásico.
- Queremos dar a esta expresión un significado, tal vez porque computación en la respuesta a algún problema en algún ingenuo da un divergentes suma como una respuesta, que es obviamente absurdo, pero que sin embargo está conectado a una respuesta útil en una forma en la que queremos determinar. (Con frecuencia el caso en la física.)
- La única manera que jamás podría aspirar a ganar algo útil a partir de nuestra definición es que si
- está de acuerdo con el convergente caso de que ambos están definidas; y
- comparte propiedades de la clave con el convergente caso.
- Vamos a tratar de elegir las propiedades del primero. Escribir $S_n[a_n] = \sum_{n=1}^\infty a_n$ Aquí hay tres ideas:
- $S_n[a_n] = a_1 + S_n[a_{n+1}]$ (estabilidad), es decir, $$a_1 + a_2 + \cdots = a_1 + (a_2 + \cdots)$$
- $S_n[a_n] + b_n = S_n[a_n] + S_n[b_n]$ (linealidad parte 1)
- $S_n[k a_n] = k S_n[a_n]$ (linealidad parte 2)
- Estos son compatibles con las reglas normales, y por lo tanto también podemos exigir que para convergente la serie, $S_n$ es de hecho la costumbre de totalización (regularidad).
- Ellos también son consistentes, por lo que no debería introducir y contradicciones en el uso de esta definición.
- Serían estas reglas suficiente para calcular los resultados reales de sumas divergentes? Sí! Por ejemplo, $1 + 2 + 4 + \cdots$ se calcula mediante la observación de $S_n[a_n] = 1 + 2 S_n[a_n]$$S_n[a_n] = -1$.
Así que ahora la pregunta es ¿por qué cargas de diferentes sumatoria de las técnicas de darle esta misma respuesta? La respuesta es simple si ellos también están construidos para obedecer las reglas anteriores también! Si estas reglas son suficientes para calcular la suma, entonces, independientemente de qué otra cosa se especifique acerca de $S_n$, usted tendrá que obtener la respuesta anterior, siempre que la define. (Por ejemplo, Cesàro suma no da un valor a dicha suma.)
Sin embargo, mientras que Nørlund medios (incluyendo Cesàro sumas) y Abelian medios son regulares, lineal y estable, algunas otras técnicas que no son. (Tenga en cuenta que estos no son equivalentes, esto significa que algunas sumas no puede ser calculada usando sólo la regularidad, la linealidad y estabilidad, incluso a pesar de que estos planes de hacer definidos, mientras que la de obedecer a estas propiedades.) En particular, la estabilidad se ha caído o se ha debilitado.
Un ejemplo? Considerar la serie de $S=1+1+1+\cdots$. Por zeta función de la regularización, esto tiene una respuesta de $-\frac 1 2$. Sin embargo, si hemos atribuido un valor estable en el esquema, tendríamos $S = 1+S$, lo cual es una contradicción, porque $S=0$. Bien, esto significa que ninguna estable esquema define a esta cantidad. Por lo tanto zeta función de regularización no es estable.
Raro, ¿eh? La regularidad y la linealidad también se puede caer, pero entonces de ir más allá de la esfera de la mayoría de las aplicaciones de la física, creo.
Al parecer (Wikipedia dice) Borel suma no es estable, sin embargo, todavía a menudo da las mismas respuestas como otros de suma métodos. No estoy muy seguro de por qué, pero tengo la sospecha de Borel suma que va a ser estable en determinadas situaciones".
La analogía con la función Gamma es bueno. Si uno escoge a algunos integral para definir $\Gamma(z)$ que sólo funciona para algunos (digamos abierto) dominio de $z\in D$, entonces uno tiene el problema de tratar de decidir lo $\Gamma$ debe ser fuera de $D$. Pero darse cuenta de que dentro de $D$ $\Gamma$ función tiene la propiedad de que es analítico (meromorphic tal vez), uno puede imponer dos requisitos en $\Gamma(z)$:
- está de acuerdo con la definición anterior en $D$; y
- es meromorphic en $\mathbb C$.
Estos son exactamente análogas a las dos exigencias $S_n$ por encima - y debido a que una vez más vuelven a cabo únicamente para especificar $\Gamma$ en todas partes, va a estar de acuerdo con cualquier otro método de expresar $\Gamma$, mientras uno se mantiene la meromorphic de la propiedad.
Tan lejos como Cesàro suma y series de Fourier vaya, esto es un poco diferente. Aquí, se toma una serie de Fourier que hace la convergencia pointwise. El punto básico es que la serie de Fourier puede oscilar rápidamente causando uniforme de la convergencia (siempre hay un gran error en alguna parte, pero no en el mismo lugar que el anterior), pero si uno se suaviza esta oscilación se puede hacer la convergencia uniforme.
Esta no es una muy misteriosa aplicación de Cesàro suma - sólo disminuye el efecto de la adición de un término que finalmente será cancelado por períodos posteriores.
Edit: En respuesta a su preocupación de que todo esto es una "tontería" - su problema es que usted está pensando acerca de la sumatoria de las técnicas que se han empleado para mejorar la convergencia numérico, mientras que, en general, hay muchas más propiedades de las sumatorias que usted está interesado en. Aquí va uno.
Supongamos que tenemos un sistema físico, el cual es descrito por algunos bienes $x$, lo que podría ser una constante de acoplamiento, por ejemplo. Ahora supongamos que usted está interesado en alguna propiedad, $F(x)$ lo cual es un resultado medible del sistema. Además, supongamos que estiman que el $F(x)$ es una analítica de la función de $x$.
De hecho, si asumimos $x$ es muy pequeño, está muy feliz de encontrar a $F(x) = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots$, donde quizás $b_n = (-2)^n$. Para la pequeña y agradable números, usted puede trabajar fuera de la respuesta tomando un par de términos.
Ahora imagine que usted está interesado en la medición de la $x=37.4$. Supongamos, además, que usted realmente no entiende acerca de la serie de trabajar sólo cuando son pequeños, por lo que sólo enchufado $x$.
Consigue $S = \sum (37.4)^n (-2)^n = \sum (-74.8)^n = 1 - 74.8 + 74.8^2 - \cdots$ y pensar "~%*£%!". Pero ahora se ríen descaradamente, y aplicar las reglas de arriba. Usted encontrará $S = 1 - 74.8 S$$S = 1/75.8 = 0.0132\ldots$.
Eso es basura, ¿verdad?
Mal. Aviso que para los pequeños $x$, $$F(x) = 1 - 2x + 4x^2 - \cdots = \frac1{1+2x}$$and the unique analytic continuation of this results in $$F(37.4) = \frac{1}{1+2\times 37.4} = \frac 1 {75.8} = 0.0132\ldots$$
La magia? Nope. Sólo el hecho de que nuestra definición juega bonito, con analiticidad. Cuando usted suma analítica de funciones fuera de su radio de convergencia, se debe llegar a la respuesta correcta.
Ahora, la verdadera lugares donde estos trucos se utilizan (y no siempre entiende de verdad) en la física son cosas como la dimensión crítica de una cadena, o en el rápido cálculo de la magnitud del efecto Casimir. El acuerdo es similar a la anterior, excepto que uno no tiene un $x$, por lo que uno no funciona la dependencia de un parámetro; simplemente se calcula una sola cantidad en una expansión, luego espera y reza para que la física en el fondo es muy bonito (como la analiticidad de arriba), por lo que juega a la pelota con su suma - y entonces usted puede utilizar uno de estos sumación de trucos y que no deben dar la respuesta correcta, incluso si la serie escribió separaron!
De haber pensado en el pictórica ayudante, creo que todos Carl Bender está tratando de decir es que trabajan en la esfera de Riemann para hacer cosas bonitas y claras, donde una vez más complejo el infinito es un punto único en el hemisferio norte - hay un sentido definido en el que las líneas se puede ir hasta el infinito y volver desde el "otro lado". ![http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7c/Riemann_sphere1.jpg]()
No es claro para mí que esto es nada más que una vaga sugerencia, aunque, sobre todo porque si uno traza las sumas parciales de la esfera (y tratarla como una esfera) es claro que se acumulan hasta el punto de complejo infinito, y nunca pueden llegar o pasar de ella. Tengo curiosidad acerca de esto, sin embargo, y si puede ser demostrado tener cualquier rigurosos valor.
Quizás una mejor manera de ver esto es para decir que si uno hace la suma por una técnica equivalente a la de continuación analítica, entonces uno puede obtener cualquier valor de la función. Si uno calcula $1+2+4+\cdots$ escrito $1+2x+4x^2+\cdots = 1/(1-2x)$ luego analíticamente continuó en el plano complejo de cerca de 0 a 1 para evitar la singularidad en $\frac 1 2$, se puede obtener resultados negativos porque uno está metido en todo el plano complejo; en concreto, si uno hace una muy apretado círculo alrededor de $\frac 1 2$, entonces el valor de la suma gira alrededor de un "pequeño" círculo cerca de complejo infinito. El dibujo esta en la esfera de los vínculos con la intuición por encima.
