Mostrar que $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{(n!)^{1/n}}{n}= \frac{1}{e}$

Question

Mostrar que $$\lim_{n \to \infty} \left\{\frac{(n!)^{1/n}}{n}\right\} = \frac{1}{e}$$

Lo que hice es dejar a $U_n = \dfrac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}$$U_{n+1} = \dfrac{(n+1)!^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}$. Entonces

$$\frac{ U_{n+1} }{U_n } = \frac{\frac{(n+1)!^{\frac{1}{n+1}}}{n+1}}{\frac{(n!)^{\frac{1}{n}}}{n}}$$

La próxima me atoraba. Estoy en el camino correcto, o me equivoco haciendo este tipo de secuencia?

Answer 1

Deje $v_n = \frac{n!}{n^n } $ $$ \frac{v_{n+1}}{v_n } =\frac{(n+1)! }{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n }{n!} =\frac{n^n}{(n+1)^n }=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}\to \frac{1}{e}$$ hence $$\frac{\sqrt[n]{n!} }{n} =\sqrt[n]{v_n} \to\frac{1}{e} .$$

Answer 2

Como Travis sugerido, considere la posibilidad de $$A=\frac{(n!)^{1/n}}{n}$$ Now, use Stirling approximation $$n!= \sqrt{2\pi n}\,\Big(\frac n e\Big)^n \Big(1+\frac 1 {12n}+\cdots\Big)$$ So $$A=(2\pi n)^{\frac 1 {2n}}\, \Big(1+\frac 1 {12n}+\cdots\Big)^{\frac 1 n} \frac 1e$$ The first two terms tends to $1$ when $$ n se hace más grande y, a continuación, el límite.

Empujando la evolución, que podría llegar, para grandes valores de $n$, $$A\approx \frac{1}{e}+\frac{\log (2 \pi n)}{2\, e \, n}+\cdots$$

Si no se utiliza para la práctica de la aproximación de Stirling, trate de recordar; es extremadamente útil cada vez que usted tiene que encontrar el límite o el asymptotics de cualquier función que contiene factoriales.