¿Lazo de espacios como espacios lisa generalizada o como múltiples dimensiones infinitas?

Question

Hay dos maneras de definir suave asignación de espacios y quiero saber cómo se comparan.

Vamos a tomar el concreto caso especial de bucles libres espacios. Creo que este es el más estudiado de ejemplo para que probablemente tendrá la mejor oportunidad de una respuesta. Aproximadamente el bucle libre el espacio es un espacio que se supone es el espacio de los mapas del círculo a un determinado espacio X. es usualmente denotado LX. Todo esto está bien y es bueno para espacios topológicos. Obtener un buen asignación de espacio LX por equipamiento el conjunto de mapas con el compacto generado compacto abierto de la topología. Incluso se satisface la contigüidad:

$ Mapa(Y, LX) = Map( Y \times S^1, X)$

Sin embargo la cosa se complica cuando queremos trabajar con los colectores. La primera cosa es que queremos algo que representa suave mapas desde el círculo en el colector de X.

Básicamente hay dos enfoques para hacer que un objeto preciso, y quiero saber cómo se comparan.

El primer enfoque se intenta construir un espacio real de suave mapas. Aquí se inicia con el conjunto de suave mapas LX, y con analítica muscular que le den la estructura de un infinito dimensional Fréchet colector. Cuando X = G es una Mentira grupo, este es un inifinite dimensiones de la Mentira de grupo y es la cosa cuyo (proyectiva) representaciones hacer una aparición en la teoría conforme de campos.

El segundo enfoque es el estudio de las bucle espacio como una generalización de espacio liso. ¿Qué es un generalizada espacio liso, usted pide? Bien, hubo mucha discusión sobre esto en la N-categoría Café, aquí y aquí. Aproximadamente LX es pensada como un tipo de gavilla a través de la fórmula:

$LX(Y) = Mapas(Y, LX) = Mapas(Y \times S^1, X)$

En algunos modelos debe ser de hormigón con una gavilla (es decir, un conjunto subyacente de puntos y todos los mapas de ella a cualquier otra cosa que se concreta en un conjunto particular de mapa. Los detalles técnicos que aparecen en el Báez-Hoffnung papel en el segundo enlace). Claramente, este modelo tiene sus propias propiedades deseables.

¿Cómo funciona el colector de la versión de bucle espacio comparar a la gavilla teórico de la versión?

Es de suponer que el Fréchet colector modelo da una gavilla (ya que podemos mapa). ¿Esta de acuerdo con la gavilla definido por la contigüidad de la fórmula? Si no son la misma gavilla, ellos no parecen tener los mismos puntos, ¿verdad? Y creo que hay un mapa comparativo de las múltiples LX a la gavilla LX, que debe ser útil. ¿Alguien puede explicar su relación de pareja? Cómo similares/diferentes son?

Answer 1

Son los mismos.

Si usted quiere la plena escabrosos detalles, lea "Un Cómodo Ajuste de Análisis Global" por Kriegl y Michor (disponible como PDF gratuito a través de la AMS de la librería). Para un enfoque más suave, mi leer online seminario de notas "El Diferencial Topología de Bucle de Espacios". Michor también ha escrito un poco justo en colectores de asignaciones, y he escrito la extraña artículo sobre ellos.

Pero básicamente, el colector de estructura en $PELÍCULA$ es el "derecho" de la estructura, de manera que la ley exponencial:

$$ C^\infty(N \times S^1,M) \cong C^\infty(N, LM) $$

sostiene.

Yo sólo (hoy, pero antes de que se registra este) comenzó suave bucle espacio con la intención de copiar algunos de mis seminario de notas y otros artículos sueltos en la nLab. Si hay algo que interesa especialmente, hágamelo saber y que me va a dar algunos incentivos para seguir con el proyecto!

PS yo te aviso recogido bucles como un ejemplo. Para el caso más general de la exponencial de la ley, usted debe leer la Kriegl y Michor libro. Básicamente, funciona bien cuando el objeto que se exponentiated es un compacto de colector. Para los no-compacto colectores necesita utilizar una estructura diferente, que es un poco más raro.

Answer 2

Andrew es el correcto! Me deja modificar mi punto de vista personal, donde generalizada suave colectores son diffeological espacios.

El Fréchet colector de la estructura de la LX está de acuerdo con la diffeology en la LX en el siguiente sentido.

Hay un functor $$F: Frech \a Diff$$ de Fréchet colectores para diffeological los espacios definidos en la misma manera como el conocido functor $M: Hombre \a Diff$ de suave colectores para diffeological espacios: una parcela es, precisamente, una suave mapa de $c: U \a la LX$, donde $U$ es un objeto en el dominio de la categoría, por ejemplo, un subconjunto abierto de unos $\mathbb{R}^n$.

(Por cierto: un teorema de M. Losik dice que el functor de $F$ es completa y fiel, justo como el functor $M$!)

Ahora hay dos diffeologies en la LX: la primera es la descrita en el de Chris pregunta. Un mapa de $c:U \a la LX$ es una parcela si y sólo si el mapa asociado $U \times S^1 \a X$ es suave. La segunda diffeology es la obtenida a partir de la functor de $F$.

Estos dos diffeologies coinciden en el sentido de que cada parcela de uno es una parcela de la otra. En particular, tienen el mismo conjunto de las funciones lisas.

Si quieres ver a un peatón prueba puedo anunciar Lema A. 1.7 en mi papel de "Transgresión de Bucle Espacios y su Inverso yo".