Creo que es posible deformar a una curva en un camino por el que podemos variar de torsión, manteniendo la curvatura fija. Me preguntaba si alguien me podría dar un buen ejemplo de esto.
Probablemente la más simple clase de ejemplos, son aquellos para los que la curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$ son constantes para cada curva de la familia. Cualquier curva es una hélice (incluyendo el caso de degeneración de cero de torsión, lo que genera un círculo) y puede ser parametrizado por
$$\alpha(t) := (r \cos t, r \sin t, bt)$$
para algunos de los parámetros de $r$ (el radio del cilindro único que contiene la imagen de la hélice) y $b$ (una cantidad que controla la componente de la velocidad en la dirección del eje de cilindro). (Informática que da ese $||\alpha'(t)||^2 = \sqrt{r^2 + b^2}$, y, en particular, $\alpha$ es una constante de velocidad de la parametrización, así que no hay problemas para escribir una longitud de arco de la parametrización.) Ahora, directa cálculo nos da que la curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$ $\alpha$
$$\kappa(t) = \frac{r}{r^2 + b^2} \qquad \text{and} \qquad \tau(t) = \frac{b}{r^2 + b^2}.$$
So, to produce a family of helices $\color{#bf0000}{\alpha_m(t)}$ with constant prescribed curvature $\kappa$ and varying torsion $\tau$, we need only pick (nonconstant) functions $r(m), b(m)$ that satisfy $$\kappa = \frac{r(m)}{r(m)^2 + b(m)^2}$$ for any prescribed constant $\kappa > 0$. Reorganización muestra que esta ecuación define un círculo
$$\left(r - \frac{1}{2 \kappa}\right)^2 + b^2 = \left(\frac{1}{2 \kappa} \right)^2$$
en $rb$-espacio, y podemos producir funciones explícitas $r(m), b(m)$ mediante la parametrización de este círculo (o, más precisamente, este círculo de menos el punto de $(r, b) = (0, 0)$). La costumbre racional de la parametrización de la unidad de círculo, por ejemplo, conduce a la solución
\begin{align}
r(m) := \frac{1}{(1 + m^2) \kappa} \\
b(m) := \frac{m}{(1 + m^2) \kappa}
\end{align}
y de ahí a la parametrizado de la familia de las hélices definido por
$$\color{#bf0000}{\alpha_m(t) = \left(\frac{\cos t}{(1 + m^2) \kappa}, \frac{\sin t}{(1 + m^2) \kappa}, \frac{m t}{(1 + m^2) \kappa}\right)}.$$ Substituting this parameterization in the above formulas for $\kappa$ and $\tau$ revela que
$$m = \frac{\tau}{\kappa};$$
en particular, cuando se $\kappa = 1$ el parámetro de $m$ no es nada más que la torsión $\tau$ sí.
Esta animación muestra cómo $\color{#bf0000}{\alpha_m}$ ( $\kappa = 1$ ) varía de acuerdo con lo prescrito torsión $\tau$.
![enter image description here]()
Esto fue generado por el siguiente Arce código:
with(plots):
stau := [cos(t) / (tau^2 + 1), sin(t) / (tau^2 + 1), tau * t / (1 + tau^2)];
opts := color=black, numpoints = 400:
animate(spacecurve, [stau, t = -64..64, opts], tau = -4..4, view = [-2..2, -2..2, -8..8], scaling = constrained, frames = 192, axes = none);
Uno se puede generalizar este ejemplo salvajemente, por el camino, como se da alguna de las funciones $\kappa(s)$, $\tau(s)$ (decir, con $\kappa > 0$) parametrizada por longitud de arco hay una curva con curvatura $\kappa(s)$ y torsión $\tau(s)$, y esta curva es único hasta Euclidiana movimientos, aunque en realidad, la solución para que esta curva requiere la integración de la ecuación diferencial.
Para una curva que está incrustado en $\Bbb R^n$ hay una cantidad indicando hasta qué punto la curva es de ser incrustado en $\Bbb R^n$, y esto es incluso útil?
Sí, hay de orden superior análogos de torsión para Euclidiana espacios $\Bbb R^n$, $n > 3$. Recordemos que en en $\Bbb R^3$ (1) uno siempre puede elegir (al menos para las curvas con nonvanishing curvatura) un único adaptado ortonormales marco de $({\bf T}, {\bf N}, {\bf B})$ a lo largo de una determinada curva suave, y (2) los derivados de la curvatura y la torsión de satisfacer
$$\begin{pmatrix} {\bf T} \\ {\bf N} \\ {\bf B} \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 \\ -\kappa & 0 & \tau \\ 0 & -\tau & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\bf T} \\ {\bf N} \\ {\bf B} \end{pmatrix}.$$ (Here, $'$ denotes differentiation w.r.t. an arc length parameter.) Similarly, in $\Bbb R^4$, for sufficiently generic curves one can choose a unique adapted orthonormal frame $({\bf T}, {\bf N}, {\bf B}, \color{#0000ff}{{\bf U}})$ (here $\color{#0000ff}{{\bf U}}$ is sometimes called, predictably, the trinormal), and such a curve has three curvature quantities, $\kappa \tau, \color{#00bf00}{\upsilon}$, y estas satisfacer
$$\begin{pmatrix} {\bf T} \\ {\bf N} \\ {\bf B} \\ \color{#0000ff}{{\bf U}} \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 0 & \kappa & 0 & 0\\ -\kappa & 0 & \tau & 0 \\ 0 & -\tau & 0 & \color{#00bf00}{\upsilon} \\ 0 & 0 & -\color{#00bf00}{\upsilon} & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} {\bf T} \\ {\bf N} \\ {\bf B} \\ \color{#0000ff}{{\bf U}} \end{pmatrix}.$$ As you guessed, $\color{#00bf00}{\upsilon}$ measures the failure of the curve to be contained in the hyperplane $\langle {\bf T}, {\bf N}, {\bf B} \rangle$ to the appropriate order. (Preserving the analogy with the $3$-dimensional case, the triple $(\kappa, \tau, \color{#00bf00}{\upsilon})$ is a complete set of invariants for a generic curve in $\Bbb R^4$, in that their values generically determine a curve uniquely up to Euclidean motions.) The analogous statements for higher dimensions are the generalizations from the $\Bbb R^3$ and $\Bbb R^4$ cases that you'd guess; in particular generic curves in $\Bbb R^n$ have, and are generically determined by, $n - 1$ curvature functions. (Note that this general pattern captures the $2$-dimensional caso, también, en el que sólo hay un único invariante, sólo el habitual (firmado) curvatura.)
