¿Por qué $\sum_{n=0}^{\infty} \cos^n(n)$ converge?

Question

Considerar la serie

$$\sum_{n=0}^{\infty}\cos^n(n)$$

I think that the root test is inconclusive, because

$$\limsup_n \sqrt[n]{|\cos^n(n)|}=\limsup_n|\cos(n)|\leq 1$$

once we can approximate $\pi$ by rational numbers, there will always be some $i$ and $j\in\mathbb{N}$ such that $|j\pi-i|<\varepsilon$, for every $\varepsilon>0$ that we choose. And in this case $|\cos(i)-1|<\delta$.

Sin embargo, parece que converge. Yo no puedo pensar en ninguna otra serie convergente para comparar con él.

Mi pregunta es: ¿cómo puedo demostrar que esta serie converge?

Edit: en Realidad, esta serie diverge, como se puede ver en tmyklebu la respuesta. Hice un programa de fortran y aquí están algunos valores de la sucesión de las sumas parciales:

n     S_n
10    1.5898364866640549
100   7.8365722183614510
1000  24.825953005207236
10000 79.232008037801393

Answer 1

No. Que la serie tiene un montón de términos cerca de $\pm 1$; en particular, se puede mostrar que tiene un número infinito de términos cuyo valor absoluto es mayor que $\frac12$:

La desigualdad de $|\pi - p/q| < 1/q^2$ es satisfecho por un número infinito de pares de enteros positivos $(p,q)$. (Esto es de Dirichlet del teorema de aproximación.) Deje $(p,q)$ ser uno de esos par con $q > 8$. Entonces, para algunos de los verdaderos $r$$|r| < 1/q$, $$|\cos(p)| = |\cos(q \pi + r)| \geq 1 - r^2 \geq 1 - 1/q^2.$ $ $$|\cos(p)^p| \geq (1 - 1/q^2)^p \geq 1 - p/q^2 \geq 1 - 4/q > 1/2.$$