Deje $X$ ser un espacio métrico de tal manera que cada función continua $f:X \to \mathbb R$ es uniformemente continua ( aquí $\mathbb R$ está equipado con el estándar de la métrica euclidiana ) , entonces es cierto que para cualquier espacio métrico $Y$ , cada función continua $f:X \to Y$ es uniformemente continua ?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
richard
Puntos
1
He encontrado un montón de cosas sobre el tema, por lo que esta respuesta va a ser reescrito.
Parece que el siguiente.
Podemos responder a su pregunta de manera positiva a través de la siguiente Proposición 1. Sin embargo, todavía estoy pensando en otra caracterización, que nos permitirá saber más acerca de la estructura del espacio de $X$. Vamos a necesitar las siguientes definiciones.
Un subconjunto $A$ a de un espacio métrico $(X,\rho)$ es de manera uniforme discreta, si no existe $\delta>0$ tal que $\rho(x,y)>\delta$ para cada uno de los diferentes puntos de $x,y\in A$. Es fácil comprobar que un espacio métrico $X$ es totalmente acotado iff $X$ no contiene infinita de manera uniforme discreta subconjunto. En particular, cada uno sin límites de espacio métrico $(X,\rho)$ contiene un uniforme discreta subconjunto $A=\{a_n\}$, que puede ser construido por inducción: recogida como $a_0$ un punto arbitrario del espacio $X$, y para cada una de las $n$ escoger como $a_n$ un punto arbitrario del espacio $X$ tal que $\rho(a_n,a_m)\ge 1$ por cada $m<n$.
Un topológico metrizable espacio de $Y_0$ se llama una absoluta extensor, abreviado AE, a condición de que por cada topológico metrizable espacio de $X$ y cada subespacio cerrado $A\subset X$, cada función continua $f_0:A\to Y_0$ pueden extenderse a $X$. En particular, por la extensión de Tietze teorema, la línea real dotado de la norma métrica es una absoluta extensor.
Proposición 1. Deje $X$ ser un espacio métrico y $Y_0$ ser una métrica AE-espacio, que no es totalmente acotado. Las siguientes condiciones son equivalentes:
Cada función continua desde el espacio $X$ a el espacio de $Y_0$ es uniformemente continua.
Cada función continua desde el espacio $X$ a de un espacio métrico arbitrario $Y$ es uniformemente continua.
Cada cerrados discretos subconjunto del espacio de $X$ es de manera uniforme discreta.
Prueba. Implicación $(2 \Rightarrow 1)$ es trivial. Denotar la métrica del espacio $X$$\rho$, la métrica del espacio $Y$$\sigma$, y la métrica del espacio $Y_0$$\sigma_0$.
$(1 \Rightarrow 3)$. Asumir lo contrario. A continuación, el espacio $X$ contiene un cerrado discretos subconjunto $A_0$ que no está de manera uniforme discreta. A continuación, para cada una de las $n$ hay puntos de $x_n, y_n\in A_0$ tal que $\rho(x_n,y_n)<1/n$. Poner $A=\{x_n : n\in\Bbb N\}\cup \{y_n : n\in\Bbb N\}$. Desde el espacio de $Y_0$ estar totalmente delimitada, que contiene un infinito de manera uniforme discreta subconjunto $B$. De modo que hay un inyectiva mapa de $f_0:A\to B$. Desde el set $A_0$ tiene la topología discreta, la función de $f_0$ es continua. Desde el set $B$ es de manera uniforme discreta, no existe $\varepsilon>0$ tal que $\sigma_0(x,y)>\varepsilon$ para cada uno de los diferentes puntos de $x,y\in B$. Por lo tanto $\rho(x_n,y_n)<1/n$ pero $\sigma_0(f_0(x_n), f_0(x_n))> \varepsilon$ por cada $n$. Por lo tanto, la función de $f_0$ no es uniformemente continua. Desde el espacio de $Y_0$ es un absoluto extensor y el conjunto $A$ es cerrado en el espacio de $X$ existe una función continua $f:X\to Y_0$ tal que $f|A=f_0$. Claramente, que la función de $f$ no es uniformemente continua.
$(3 \Rightarrow 2)$. Asumir lo contrario. Luego hay un espacio métrico $Y$ y una función continua $f$ desde el espacio $X$ a el espacio de $Y$ que no es uniformemente continua. Esto significa que existe un número $\varepsilon>0$ tal que para cada una de las $n$ hay puntos de $x_n, y_n\in A$ tal que $\rho(x_n,y_n)<1/n$ pero $\sigma(f(x_n),f(y_n))>\varepsilon$. Poner $A=\{x_n : n\in\Bbb N\}\cup \{y_n : n\in\Bbb N\}$. Ya que la función $f$ es continuo, un conjunto $A$ no tiene límite de puntos. Por lo tanto el conjunto de $A$ es cerrado y discreto. Pero la construcción del conjunto $A$ implica que no es uniforme discreta, una contradicción. $\square$
Vamos a llamar a un espacio métrico $X$, la satisfacción de las condiciones equivalentes a las de la Proposición 1, una fina métrica del espacio.
En el siguiente trataré de investigar una estructura de bellas métrica de los espacios, las condiciones necesarias y suficientes para que un espacio métrico a estar bien.
Proposición 2. Cada espacio métrico compacto está bien.
Prueba. Deje $X$ ser un espacio métrico compacto y $A$ ser un cerrado discretos subconjunto del espacio de $X$. Desde un cerrado discretos subconjunto de un espacio compacto es compacto y discreto espacio, y, por lo tanto, finito, el conjunto de $A$ es finito, y, por lo tanto, de manera uniforme discreta. Por lo tanto, por la Proposición 1.(3), el espacio de $X$ está bien. $\square$.
Como corolario obtenemos el Teorema de 4.3.32 de "Topología General" de Ryszard Engelking, que tiene una diferente de la prueba, basado en la Lebesgue cubriendo teorema:
Corolario 1. Cada mapa continuo $f: X\to Y$ de un compacto metrizable espacio para un espacio metrizable $Y$ es uniformemente continua con respecto a cualquier métricas $\rho$ $\sigma$ en los espacios de $X$ $Y$ respectivamente.
Proposición 3. Cada multa de espacio métrico es completa.
Prueba. Asumir lo contrario, que es una fina métrica $X$ espacio no es completa. Entonces existe un no-convergente de Cauchy secuencia $A\subset X$. Es fácil comprobar que el conjunto de $A$ no tiene límite de puntos, por lo tanto es cerrado y discreto en el espacio de $X$, una contradicción. $\square$.
Proposición 4. Un discreto espacio métrico $X$ está bien iff $X$ es de manera uniforme discreta. $\square$
Proposición 5. Un subespacio cerrado de una fina métrica está bien. $\square$
A continuación ....
zhw.
Puntos
16255
Supongamos $f:X\to Y$ es continua pero no es uniformemente continua. Entonces existe $\epsilon>0$ y secuencias de $x_n,y_n$ $X$ tal que $d_X(x_n,y_n)\to 0$ $d_Y(f(x_n),f(y_n))\ge \epsilon$ todos los $n.$ tenga en cuenta que no subsequence $x_{n_k}$ pueden converger en $X$: Si $x_{n_k} \to x,$$y_{n_k} \to x$, por lo $d_Y(f( x_{n_k}),f(y_{n_k})) \to 0$ por la continuidad de $f$ $x,$ contradicition. De igual forma, no subsequence $y_{n_k}$ pueden converger en $X.$
Ahora hay una larga $n_k$ tal que $x_{n_1},y_{n_1},x_{n_2},y_{n_2}, \dots$ son todos distintos. Para ver esto, tome $n_1 = 1.$ Porque $x_1,y_1$ son distintos, nos vamos a un buen comienzo. Por los comentarios de arriba, sabemos que $x_n\in \{x_1,y_1\}$ por sólo un número finito de $n.$ Mismo para$y_n.$, por tanto, es claro que no es $n_2$ tal que $x_{1},y_{1},x_{n_2},y_{n_2}$ son todos distintos. Este proceso puede ser continuo, dando la deseada $n_k$'s.
Deje $E= \{x_{1},y_{1},x_{n_2},y_{n_2},\dots\}.$ $E$ no tiene límite de puntos en $X.$ de lo Contrario tendríamos una larga de $x_n$ o $y_n$ convergente a un punto de $X,$ contradicción. De ello se desprende que $E $ es cerrado en $X.$ En su topología relativa, $E$ es discreto. Por lo tanto, cualquier función de $g:E \to \mathbb {R}$ absoluto es continua en a $E.$ echemos $g = 0$ en $\{x_{n_k}\},$ $g = 1$ en $\{y_{n_k}\}.$ Por la extensión de Tietze teorema, $g$ se extiende a una función de $G:X\to \mathbb {R}$ que es continua en a $X.$ Claramente el comportamiento de $g$ $E$ muestra $G$ no es uniformemente continua en a $X.$ Esto es una contradicción, y lo prueba el resultado.
