Grado mínimo de mapa de $S^2\times S^2\mapsto \mathbb{CP}^2$

Question

Estoy teniendo problemas para encontrar el mínimo de d tales que hay un mapa de tal grado de $S^2\times S^2\mapsto \mathbb P^2$.

Sé que el cohomology anillo de $\mathbb P^2$ es así, yo sé que el título será otorgado por $f^*(x^2)=(f^*(x))^2$ que será el cuadrado de una clase en $H^2(S^2\times S^2)$.

Por lo tanto $f^*(x)^2=(ha_1+ka_2)^2=2hk a_1a_2$ donde $a_1$ $a_2$ son las clases correspondientes a$S^2\times pt$$pt\times S^2$.

Cómo puedo terminar de aquí?

Gracias

Edit: es complejo proyectiva del espacio.

Answer 1

El pcn es el enésimo simétrica producto de su paso por el CP1.

El mapa de la n-ésima del producto de su paso por el CP1 a CPn, que es el cociente del mapa por el grupo simétrico, tiene n! pre-imágenes. Todas las imágenes tienen un grado +1, ya que las permutaciones son holomorphic mapas, y holomorphic mapas son siempre la orientación de la preservación. Así que el quoetient mapa tiene grado n!

En este caso, el CP1 * CP1 al CP2 por quoetient mapa tiene grado 2.

Para ver por qué el Pcn es el enésimo simétrica producto de su paso por el CP1, tenga en cuenta que un punto en el CP1 es la solución única de un lineal homogénea polinomio. por ejemplo, [a:b] es la solución a la homogénea polinomio bz - ab. Dados n puntos en el CP1, multiplicar el correspondiente n lineal homogénea de los polinomios para obtener un grado n polinomio homogéneo. Los n+1 coeficientes de este polinomio se convierten en un punto único en el Pcn, desde global de la multiplicación de un homoegenous polinomio no cambia sus raíces. Finalmente, cada uno de los grados n homogéneo polinomio tiene n desordenada de las raíces, que es donde la acción del grupo simétrico.

Answer 2

$a_1 a_2$ es un generador de $H^4(S^2\times S^2)$, por lo que el establecimiento $h=k=1$ el menor grado posible es $2$. Mapa de $S^2\times S^2=\mathbb{C}P^1\times \mathbb{C} P^1\to \mathbb{C} P^2$ través $f([z:w],[z':w'])=[zz'+ww':zw':wz']$. Este es surjective, comprobar directamente que $\{z\neq 0\}\times \{z'\neq 0\}$ hits de todo pero de $[0:0:1],[0:1:0]$ y encontrar específicos preimages para los dos últimos puntos. $h$ $k$ $f^*\phi(\eta)$, $f^*\phi(\kappa)$, donde, respectivamente, $\eta$ $\kappa$ a los 2 ciclos representados por $\mathbb{C}P^1\times \{[0:1]\}$$\{[0:1]\}\times \mathbb{C}P^1$. Estos son iguales a $\phi(f_*(\eta))$ etc, que se calcula como la intersección de número de la de Poincaré doble de $\phi$ $f_*(\eta)$ y $f_*(\kappa)$. $\phi$ es dual a$\mathbb{C}P^1\subset \mathbb{C}P^2$$\{[0:a:b]\}$.

Calculamos el $f_*(\eta)=\{[w:z:0]\}$$f_*(\kappa)=\{[w':z':0]\}$, cada uno de los cuales es un integrado complejo submanifold de intersección $PD(\phi)$ en el punto de $\{[0:1:0]\}$. Las intersecciones de los complejos colectores son triviales o transversales y positiva, con lo que conseguimos $h=k=1$. Tenga en cuenta también que este es uno de los mapas que usted podría conseguir a través de apurv de la técnica, ya que cada una 2-celda de $S^2\times S^2$ es mapeada a una 2-celda de $\mathbb{C}P^2$ a través de un título-1 mapa.

Answer 3

$S^2 \times S^2$ puede ser dada una estructura celular con el 1 0 de células, de 2 de 2 células y 1 de 4 celdas y $\mathbb{CP}^2$ puede ser dada una estructura celular con 1 0-célula, 1 de 2 células y 1 de 4 celdas.

Ahora el mapa cada una de las 2-las células de $S^2 \times S^2$ a los 2-celda de $\mathbb{CP}^2$ utilizando el mapa de identidad (esto hará que su $h,k$ 1).

Debido a $\pi_3(\mathbb{CP}^2) = \pi_4(\mathbb{CP}^2) = 0$, no hay ninguna obstrucción a la extensión de este mapa a toda la $S^2 \times S^2$.

Sigue siendo para determinar el $h,k$. Para este look en el mapa inducida en el celular de la cadena de complejos a la conclusión de que la $h=k=1$.