secuencia de lema, relajante algunas hipótesis de un teorema

Question

Sé que si tengo una secuencia $ x_n $$ \a x $ donde $ $$ x_n \en Un $

entonces x es punto límite de A.

Pero lo contrario no siempre es cierto, al menos en el caso de un primer contables espacio, si es así.

La pregunta es: Es esta condición de ser la primera contables necesarios? o su posible relajarse aún más esta condición?

Answer 1

Como Jonas y François señalado, un espacio de $X$ con la propiedad deseada (que por cada $A \subseteq X$ y $x \in X$, $x \in \text{cl }A$ iff hay una secuencia $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ de los puntos de $A$ convergentes a $x$) es llamado un espacio de Fréchet. Un importante concepto relacionado es el de un secuencial de espacio. Deje $X$ ser un espacio. Un conjunto $A \subseteq X$ es de forma secuencial cerrado si siempre $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ es una secuencia de puntos de $A$$\langle x_n:n \in \omega \rangle \to x$$X$, luego $x \in A$. $X$ es secuencial si secuencialmente cada subconjunto cerrado de $X$ es cerrado. Un conjunto $A \subseteq X$ es de forma secuencial cerrado si siempre $\langle x_n:n \in \omega \rangle$ es una secuencia de puntos de $A$$\langle x_n:n \in \omega \rangle \to x$$X$,$x \in A$.

El Fréchet propiedad es estrictamente más débiles que los de la primera countability y estrictamente más fuerte que la propiedad de ser un secuencial de espacio. De hecho, un espacio Fréchet iff es hereditariamente secuencial. Dentro de la clase de secuencia de espacios, espacios de Fréchet puede ser caracterizado como de aquellos que no contienen una copia del espacio de $Y$ descrito aquí en Dan Ma de Topología del Blog. De hecho Dan Ma de Topología del Blog habla de estas propiedades en considerable detalle. Inicio aquí para otra descripción de $Y$ y relacionados con la discusión y siga los enlaces a las entradas más antiguas secuencial espacios.