$D_8$ como un derivado de los subgrupos

Question

Cada estudiante sabe que hay (exactamente) dos no abelian grupos de orden 8: Diedro ($D_8$) y de Cuaterniones ($Q_8$). El grupo $Q_8$ tiene muchas propiedades interesantes; simple de ellos son: tiene elemento único de la orden de $2$, todos los subgrupos son normales, etc. Una propiedad, lo cual es extraño y que no es obvio, el grupo $Q_8$ tiene, es que no hay ningún grupo $G$ tal que $G/Z(G)$ es isomorfo a $Q_8$. Por otro lado, $D_8$ no tiene ningún tipo de propiedad; que hay infinitamente muchos) de los grupos de $G$ tal que $G/Z(G)$ es isomorfo a $D_8$; ejemplo - $D_{16}$.

La pregunta, me gustaría preguntar, está relacionado con una propiedad de $D_8$, que no es compartida por $Q_8$. Hay infinitamente muchos) grupos cuyos derivados de subgrupo es $Q_8$; ejemplo- $SL_2(3)$. Para grupos de $G$ de orden <100, uno puede comprobar en la BRECHA que $D_8$ no es un derivado del subgrupo de cualquier grupo. La pregunta natural es, entonces:

Pregunta 1: ¿existe un finito/infinito grupo cuya derivada de subgrupo es igual a $D_8$?

Pregunta 2: ¿existe un finito/infinito grupo cuya derivada de subgrupo es igual a (general) diedro grupo $D_{2n}$ de fin de $2n$ ($n>2$)?

Answer 1

Supongamos que $G$ es un grupo con un diedro colector subgrupo $G^\prime=D_{2n}$$n\geq 3$. El subgrupo $R$ de las rotaciones es característico en $G^\prime$, y por lo tanto normal en $G$, lo $G$ actúa en $R$ por automorfismos. Desde $R$ es cíclica, es decir, su automorphism grupo abelian, y por lo tanto el núcleo de esta acción debe contener $G^\prime$. En particular, $G^\prime$ centraliza $R$, lo $R\leqslant Z(G^\prime)$. Pero sabemos que las rotaciones no son centralizados por los reflejos en diedro grupos, así que esto no puede ser verdad.