Qué $\mathsf{ZFC} + \neg\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$ suficiente como fundamentos de la matemática?

Question

He escuchado a la gente hacer el argumento de que:

$\mathsf{ZFC}$ es suficiente como fundamentos de la matemática, ya que casi todos los teoremas de las matemáticas de la literatura puede ser comprobada mediante $\mathsf{ZFC}$, siempre que estén debidamente traducidos al idioma de los conjuntos.

Ahora vamos a $\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$ denotar la declaración de que $\mathsf{ZFC}$ es consistente, formalizado en el lenguaje de la $\mathsf{ZFC}$. Por Gödel segundo teorema de la incompletitud, si $\mathsf{ZFC}$ es consistente, también lo es $\mathsf{ZFC}+\neg\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$.

Observe también que el argumento anterior funciona para $\mathsf{ZFC}+\neg\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$.

Por ello, $\mathsf{ZFC}+\neg\mathrm{Con}(\mathsf{ZFC})$ suficiente como fundaciones? Y si es así, ¿por qué nadie usa? (está bien, es evidente que hay razones psicológicas por qué nadie la está utilizando -, pero hay razones más profundas?)

Answer 1

El problema con el sistema que proponemos es que se añaden a ZFC una declaración de que en el fondo se asumen (o espero) que es falso. Específicamente, haciendo las matemáticas a partir de ZFC se basa en el hecho de que un importante fragmento de) ZFC es consistente. No queremos tener un contradictorio del sistema, debido a las contradicciones de la analítica de falsedades que nunca se llevan a cabo y, por lo tanto, implica todo (al menos en la mayoría de los sistemas lógicos).

La declaración de $\mathrm{Con(ZFC)}$ es una declaración acerca de finito de objetos (por ejemplo, números) y el hecho de que tenemos mucho más intuición acerca de estos tipos de objetos implica que tenemos muchas más expectativas acerca de la exactitud (con respecto a nuestra intuición) de una teoría que describe estos objetos.

Por lo tanto, si ZFC es contradictorio lo es la teoría que propongo (ya que se extiende ZFC). Por otro lado, si ZFC es consistente, en el modelo de la teoría que propongo le han números (o finito de objetos) que no debería de existir. El testimonio de los existencial declaración de que usted propone añadimos no va a ser un número natural (o algo que nuestra intuición se describe como un número natural).

Personalmente, creo que este es un fuerte argumento de por qué este sistema no es una buena extensión de ZFC. Queremos que la teoría de conjuntos para describir con precisión finita de objetos, y la extra axioma de que usted propone va en contra de eso.

Answer 2

Hay tres problemas principales con la teoría que proponemos.

1. A menudo, cuando queremos utilizar obligando a asumimos que no son contables transitiva modelos de $\sf ZF$ (adicional a los axiomas, por supuesto, tales como la elección, la gran cardenales, y así sucesivamente).

   De hecho, este problema es meramente cosmética, podemos evitar el uso de varios enfoques, pero nos obligaría a decir "Vamos a $M$ ser una contables transitiva modelo de suficiente axiomas de la $\sf ZF$" cada vez, lo cual es bastante molesto.

2. Un problema más grave sería con grandes cardenales. Si $\sf ZFC$ es internamente inconsistente, entonces no hay grandes cardenales en el universo, y no hay un conjunto de modelos de $\sf ZFC$ con grandes cardenales. Desde aquellos que son necesarios para más de un puñado de resultados, y de que hacen un maravilloso y profundo tema de investigación en la teoría de conjuntos, la suposición de que $\sf ZFC$ es internamente incoherente sería simplemente eliminar la totalidad de este campo.

3. A menudo nos gusta pensar de los enteros en la meta-teoría (es decir, en la lógica fuera del universo) como el mismo enteros como los de el universo. Pero en un universo donde la $\sf ZFC$ es internamente inconsistente no es una prueba de que, pero esta prueba no puede ser codificada por un estándar entero. Por lo tanto, no debe ser un entero.

   Como con la cuestión acerca de cómo forzar, esto también es, probablemente, la estética y la comodidad problema hasta cierto punto, pero también es un psicológicos punto que me resulta reconfortante pensar que el "verdadero" universo de los conjuntos tienen el mismo enteros como los que podemos escribir en la lógica de primer orden de su meta-teoría.

Desde el último punto, permítanme dibujar mi conclusión final, que es probablemente un problema psicológico aquí. Fundamental de las teorías debe ser algo que usted cree que es una buena base para el desarrollo de las matemáticas dentro. Si usted cree que $\sf ZFC$ es un fundamento razonable, entonces, por supuesto, usted puede hablar acerca de los modelos de $\sf ZFC+\lnot\rm Con(\sf ZFC)$ porque es un grande de la teoría. Pero esto significaría que a partir de un fundamental punto de vista, probablemente, no creo que el $\sf ZFC$ es consistente, por lo que toda su fundación es inconsistente.

El hecho de que $\sf ZFC+\lnot\rm Con(\sf ZFC)$ es consistente, si $\sf ZFC+\rm Con(\sf ZFC)$ es consistente, es una peculiaridad de cómo la matemática funciona. Mucho como la de muchas otras peculiaridades que podemos encontrar en los universos de la teoría de conjuntos.