¿El siguiente número que tiene esta propiedad?

Question

Me he dado cuenta de que $1/8 = 0.125$ y la suma de los dígitos del número $0.125$ es $0+1+2+5=8$ . Es precioso.

He buscado otros números que tengan esa propiedad : sólo he encontrado $1$ , $3$ y $8$ .

¿Hay algún otro número $n$ como $n$ es igual a la suma de los dígitos de $1/n$ ?

Los dígitos repetidos sólo se pueden contar una vez.
Ejemplo : $1/3=0.\bar{3}$

EDITAR : Sí, $0$ no es una solución, lo siento. :)

Answer 1

Una prueba de que las expansiones decimales finitas no funcionan. Según The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, p. 60, por Wells ( Referencia de Mathworld ) $$\text{Length of decimal period}\left(\frac{1}{2^a5^b}\right)=\max(a,b)$$

Caso 1: Supongamos que $a\ge b$ . Tenemos que la suma de dígitos no es más que $9a$ .

Por hipótesis de inducción si $2^a5^0>9a$ y $a>1$ $$2^{a+1}>18a=9(a+a)>9(a+1)$$ Desde $2^65^0>9\times6$ , $2^a5^b>9a$ sigue para cada $a\ge6$ y todo lo que no es negativo $b$ .

Por lo tanto, si $a\ge b$ , $a\ge6$

$$2^a5^b>\text{Sum of digits of decimal expansion}\left(\frac{1}{2^a5^b}\right)$$ Caso 2: $a<b$ .

Por hipótesis de inducción si $5^b2^0>9b$ y $b>1$ $$5^{b+1}>45b=9(b+4b)>9(b+1)$$ Desde $5^62^0>9\times6$ , $2^a5^b>9b$ sigue para cada $b\ge6$ y todo lo que no es negativo $a$ .

Por lo tanto, si $a<b$ , $b\ge 6$

$$2^a5^b>\text{Sum of digits of decimal expansion}\left(\frac{1}{2^a5^b}\right)$$

Así que son como máximo $5\times5=25$ casos para comprobar $1\le a,b \le 5$ que son fáciles de hacer. No tenemos esas restricciones si la repetición es periódica, ya que la longitud del período de $1/p$ es como máximo $p-1$ y obviamente $p<9(p-1)$ .

Edición del código : Teniendo en cuenta también los dígitos de partida, y compilando con -O3 se ejecuta en 17 minutos para comprobar la conjetura hasta $100000$ . La complejidad sigue siendo $O(n^2)$ para probar un intervalo $[0-n]$ (Porque se tarda alrededor de $O(k)$ para comprobar si cada $k$ cumple los requisitos). Los valores notificados son $1$ , $3$ y $8$ .

#include <cstdio>
#include <ctime>
#include <map>
int main(){
    clock_t t = clock();
    printf("Testing 1-9999\n");
    printf("1 is a solution!\n"); /*He is just a special kid, the fact that he has
    no decimal digits doesn't make you better.They tell him he is the only one.*/
    clock_t innert = clock();
    for(int x=2;x<100000;++x){
        if(x%10000==0){
            printf ("It took me %f seconds.\n",((float)(clock()-innert))/CLOCKS_PER_SEC);
            printf("Testing %d-%d\n",x,x+9999);
            innert=clock();
        }
        std::map<int,int> residues;
        int result=0,residue=1;
        while((!residues.count(residue))&&residue){
            residues[residue]=1;//dummy value
            result+=(residue*10)/x;
            residue=(residue*10)%x;
        }
        if(result==x)
            printf("%d is a solution!\n",result);
    }
    t = clock() - t;;
    printf ("Total: It took me %f seconds.\n",((float)t)/CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}

Answer 2

Contando los decimales repetidos una vez (y sólo considerando el El más corto dicha expansión decimal, es decir, $1/6=0.1\overline{6}$ está permitido, pero no $0.1666\overline{6}$ ), he comprobado los valores de $n\le 5000$ y descubrió que sólo $1$ , $3$ y $8$ son soluciones exactas. También hay una serie de cuasi errores, el mayor de los cuales es $1054$ su inversa tiene un gran bloque de dígitos que se repite (de longitud $240$ ), y se suma a $1053$ .

Si se elimina la restricción de la expansión decimal más corta, entonces hay muchas soluciones exactas (de hecho, se podría esperar que hubiera tantas como $25\%$ de todos los números naturales para trabajar). Por ejemplo, $$\frac{1}{22}=0.0454\overline{54}.$$