La construcción de mapas de S^3 -> S^2 arbitrarias invariante de Hopf?

Question

El conocido Hopf fibration $S^1 \rightarrow S^3 \rightarrow S^2$ ha explícita construcciones que implican la geometría de $C^2$ e intersecciones de líneas complejas con el $3$-esfera. Ellos no parecen generalizar fácilmente al "más alto" de Hopf mapas de $S^3 \rightarrow S^2$ con el invariante de Hopf no es igual a uno. Hay expresiones simples para los mapas?

Answer 1

Usted puede conseguir mediante la precomposición con un grado n mapa de los S^3 a sí mismo. En particular, esto le da una interpretación en términos de la estructura del grupo: si h:S^3 \S^2 es el de Hopf mapa (que es sólo modding a cabo por el subgrupo de S^1=U(1) de S^3=Sp(1)), a continuación, un mapa de la invariante de Hopf n está dada por x \mapsto h(x^n), donde x^n es el uso de la multiplicación del grupo en S^3.

Answer 2

En realidad, sí, hay una construcción que involucra complejas proyectiva de la línea.

Considerar todos los puntos (x₁, x₂, x₃, x₄) en una 3-esfera en el 4-espacio tridimensional. Nuestro objetivo es mapear S² , que es el mismo que CP¹.

Para ello, tomar una cuádrupla

x₁ + x₂i + x₃j + x₄k

elevarlo a la n-ésima potencia (esto es que el grupo de la ley en una 3-esfera) y se descomponen de nuevo en dos números complejos z₁ + z₂j. Ahora z_i:z_i es un punto de un complejo proyectiva de la línea, que es!