Sumar las potencias de $i$

Question

He estado luchando para averiguar cómo añadir potencias de $i$ .

Por ejemplo, el resultado de $i^3 + i^4 + i^5$ es $1$ . Pero, ¿cómo puedo obtener el resultado de $i^3 + i^4 + ... + i^{50}$ ? Escribirlo todo sería bastante mundano...

Tiene que ver algo con la división por 4, ya que el "ciclo de potencia" de $i$ se repite cada cuatro potencias.

Gracias por cualquier pista.

Answer 1

Observando que $i^{3}+i^{4}+\ldots +i^{50}$ es un progresión geométrica con relación $i$ primer término $i^3$ y $50-3+1=48$ términos, tenemos

$i^{3}+i^{4}+\ldots +i^{50}=i^{3}\times \dfrac{1-i^{50-3+1}}{1-i}=i^{3}\times \dfrac{1-i^{48}}{1-i}=i^{2}i\times \dfrac{1-(i^{2})^{24}}{1-i}$

$=-i\dfrac{1-(-1)^{24}}{1-i}=-i\dfrac{1-1}{1-i}=0$

Edición: "aritmético" corregido a "geométrico"

Answer 2

Desde $i^2=-1$ se obtiene $i^{4n}=1$ , $\quad i^{4n+1}=i$ , $\quad i^{4n+2}=-1$ y $i^{4n+3}=-i$ .

Entonces sólo tienes que contar tus múltiplos positivos y negativos de $1$ y $i$ .

En particular, $i^3+i^4+\cdots+i^{50}=0$ .

Answer 3

HINT $\rm\quad\quad i^3 + \: i^4 \; + \:\;\cdots\;\: + \; i^k = 0\ \:\iff\: k\:\equiv\: 2 \:\pmod 4$

En general, supongamos que $\rm\: z \:$ tiene orden $\rm m>1\:.$ Por lo tanto, $\rm\; z^n = 1 \iff\ m\:|n\;\;\:$ por lo tanto:

LEMMA $\quad\rm z^j + z^{j+1} + \:\cdots + z^k = 0\;\; \iff \rm\: k \:\equiv\;\; j \:-\: 1 \:\pmod m $

Prueba : $\;\;\;\;\rm \displaystyle z^j \ (1+z+\cdots + z^{k-j}) \;=\; z^j \: \frac{1-z^{k-j+1}}{1-z} = 0 \;\iff\; \rm m\:|\:k-j+1\quad\;$

Answer 4

Tenemos $$i^{3} + i^{4} + i^{5} = 1 = i^{3} + i^{4} + i^{5} + i^{6} + i^{7} + i^{8} + i^{9} = i^{3} + i^{4} + \cdots +i^{4n+1}$$

Ahora $i^{50}=1 \times -1$ , por lo que tenemos que la suma es $0$ .